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1、高一培优材料-平面向量中的三角形“四心”问题、“四心”的概念与性质(1)重心的定义：三角形三条中线的交点叫重心.重心的性质：(1)它到三角形顶点距离与该点到对边屮点距离之比为2：1.(2)点G是的重心<^GA+GB+GC=Q^I•I■•■•■•PG=
2、(PA+PB+PCK其中P为平面内任意一点)(3)在向量的坐标表示中，若G,A,B,C分别是三角形的重心和三个顶点，X+x2+x3刃+必+尹3，尹_3且分别为G(x,y),A(xi尹
3、),B(X2,夕2)，C(X3,旳),则有x=3证法1:设O(x,y),A(x{
4、,必),B(x2,y2),C(x3,y3)(%!-%)+(x2_X)+(x3-x)=0(71一尹)+(尹2一歹)+(尹3一尹)=0X
5、+兀2+勺x_3—71+力+儿一3oO是ABC的重心.证法2：如图vOA^-OB-^OC=OA-^2OD=0:.ld=2OD:.A.0、・・・O是ABC的重心［例1］已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+D三点共线，且0分如9为2：1久(乔+疋)，2e(0,+8),则点P的轨迹一定通过△/3C的心・［解析］由原等式，得丽一OA=X(A
6、B+AC),即AP=X(AB+AC根据平行四边形法则,知~AB^~AC是厶ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△/BC的重心•［例2］已知内一点O满足关系04+205+3OC=0,试求屁％疋：Sg”:S^A()B之值.懈］延长Q5至几使BB、=OB,延长OC至G,使CCi=2OC连接眄,ACl9如图所则OB^lOB,OCX^30C,由条件，得刃+0瓦+0可=0,所以点0是的重心.从而S/BQC=SgO4=S/AOB=gs,其中S表示的面积,所以S、aob=~^、S^boc=22X3ZIL曰c
7、■Q•c•—■——1•OQJ疋Mboc■^^coa■Maob—]8•9°6—1*2'［点评1本题条件OA+2OB+3OC=0与三角形的重心性质GA+GB+GC=0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.［引申推广］已知△/BC内一点0满足关系^OA+A2OB+A3OC=0,则S'boc：S'coa:S“ob=右：久2：久3・(2)垂心的定义：三角形三条高线的交点叫垂心.垂心的性质：若日是厶ABC的垂心o用•
8、丽=丽•就=就•页或7dA2+BC2=7iB2+CA2=7iC2+7B2证明：如图所示0是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.^>OBLAC同理04丄BC,OC丄450A•OB=0B•OCoOB(OA—0C)=0B•CA=0<=>O为ABC的垂心例3：O是平面上一定点，A.B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满—-―-ABACr、足OP=CM+2(—+—),Ag[0,+oo)，则点P的轨迹一定通欄cosBACcosC)A.外心B.内心C.重心D.垂心分析：如图所示AD垂直BC,BE垂
9、直AC,D、E是垂足.ABAC)—ABBC［ACBC
10、t4b
11、cosB
12、?ic
13、cosC
14、?15、cos5ACcosC十呼Ccos5cos5ACWCcosC_kk=-BC+BC=0UccosC•••点戶的轨迹一定通过MBC的垂心，即选D・(3)内心的定义：三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心的性质：(1)它到三角形三边的距离相等.内心就是三角形内切圆的圆心(2)若点0是的内心u>aOA+bOB^-cOC=Q.AC——►►ARAC—be,ABAC、a+b+ccb:.aOA+bOB+cOC=6证明：・・•竺、竺分别
16、为AB.AC方向上的单位向量…••竺+竺平分ABAC,cbcb■77;”ABAC、入abecba+b+c化简得(^+/>+c)O4+bAB+cAC=6(3)三角形内角平分线性质定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比△ABC屮，角平分线AD的计算方法(4)外心的定义：三角形三条边的屮垂线的交点叫外心.外心的性质：(1)它到三角形的三个顶点的距离相等.外心就是三角形外接圆的圆心(2)若0是ZUBC的外心O贝1(^+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0或刃
17、=OB=OC.小试牛
18、刀:1.已知ABC三个顶点力、B、C及平面内一点满足可+西+陀=6,若实数久满足：~AB+7c=2Jp,则久的值为（）A.2B.-C.3D.622.若ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,OA+OB+OC=Q,则O40B=（）A.丄B.0C・1D.一丄223•点O在MBC内部且满足a4+2OB+2OC=6,则ABC面积与凹四边形ABOC面积354之比是（
