高一培优材料.doc

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1、高一培优材料-平面向量中的三角形“四心”问题一、“四心”的概念与性质（1）重心的定义：三角形三条中线的交点叫重心．重心的性质：（1）它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.A（2）点G是△ABC的重心GA＋GB＋GC＝0或1OEPG＝3(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一点)（3）在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，OAOBOC0(x1(y1x)y)(x2(y2x)(x3y)(y3x)0y)0xyx1y1x2x33y2y33且分别为G(x，y)，A(x1，

2、y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y3BDC3.O是ABC的重心.证法2：如图OAOBOCOA2OD0AO2ODA、O、D三点共线，且O分AD为2：1O是ABC的重心[例1]已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的心．[解析]由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋

3、AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．[例2]已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB之值．[解]延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，则OB1＝2OB，OC1＝3OC，由条件，得OA＋OB1＋OC1＝0，所以点O是△ABC的重心．从而S△BOC＝S△COA＝S△AOB＝1，其中S表111

4、111S3示△AB1C1的面积，1123211119所以S△COA＝S，S△AOB＝6S，S△BOC＝S△B1OC＝×S△B1OC1＝18S.于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝1∶1∶1＝1∶2∶3.1896[点评]本题条件OA＋2OB＋3OC＝0与三角形的重心性质GA＋GB＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广]已知△ABC内一点O满足关系λ1OA＋λ2O

5、B＋λ3OC＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.(2)垂心的定义：三角形三条高线的交点叫垂心．垂心的性质：若H是△ABC的垂心HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA2＋BC2＝HB2＋CA2＝HC2＋AB2证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0AOBAC同理OABC，OCABEOO为ABC的垂心例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAB

6、cosBAC)，0,ACcosCBDC，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.A(ABAC)BC=ABBCACBCABcosBACcosCABcosBACcosCEABBCcosB=ACBCcosC=BC+BC=0ABcosBACcosCBDC点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.(3)内心的定义：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心的性质：（1）它到三角形三边的距离相等．内心就是三角形内切圆的

7、圆心（2）若点O是△ABC的内心aOAbOBcOC0.证明：ABAC、分别为cbAB、AC方向上的单位向量，ABACcb平分BAC,AO(ABcAC)，令bbcabcAObc（ABAC)abccb化简得(abc)OAbABcAC0aOAbOBcOC0（3）三角形内角平分线性质定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比△ABC中，角平分线AD的计算方法(2)外心的定义：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心的性质：（1）它到三角形的三个顶点的距离相等．外心就是三角形外

8、接圆的圆心（2）若O是△ABC的外心则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或

9、OA

10、＝

11、OB

12、＝

13、OC

14、.小试牛刀：1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（）A．2B．3C．3D．622.若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOCA．1B．0C．1D．1220，则OAOB()3.点O在ABC内部且满足OA2OB2