《实数》培优材料

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1、七年级数学培优讲义（2）一、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；②符号概念：若，那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么。（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；②在算术平方根中，其结果是非负数，即≥0；③计算中的性质1：（a≥0）；④计算中的性质2：；⑤在立方根中，（符号法则）⑥计算中的性质3：；（3）实数的分类：（二分法）（三分法）（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1.已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平

2、方根。练习：1.已知，求的算术平方根与立方根。2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。例2、解方程（x+1）2=36.练习：（1）　　　　（2）2、利用性质解题：例1已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是；②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。⑴⑵⑶⑷例4．已知与互为相反数，求的值.练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。2.若（x－3）2＋=0，求x＋y

3、的平方根；3.已知求的值.4.当x满足下列条件时，求x的范围。①=x－2②=③=x5.若，则的值是3、利用取值范围解题：例1.已知有理数a满足，求的值。3、利用估算比较大小、计算：估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例1．比较与的大小说明：比较大小的常用方法还有：①差值比较法：如：比较1－与1－的大小。解∵（1－）－（1－）=－＞0，∴1－＞1－。②商值比较法（适用于两个正数）如：比较与的大小。解：∵÷=-1＜1∴＜③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，

4、a＜b。来比较a与b的大小。（以后介绍）④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如：当0”、“<”）4、利用数形结合解题：例1实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简

5、a+b

6、+的结果是（）a0bA、2bB、2aC、－2aD、－2b01

7、CAB例2如图，数轴上表示1、的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）A、－1B、1－C、2－D、－2（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根：①由-3是9的平方根得：=-3。②由81的平方根是±9得=±9③是5的平方根的相反数2、混淆文字表示和符号表示：①的算术平方根是4；②的立方根是43、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：①是6的平方根；②6的平方根是；③与互为相反数；④a的算术平方根是（2）无理数的概念不清：①开方开不尽的数是无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正

8、无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；填空：在-1.414，，π，3.，2+，3.212212221…，，，0.303003.这些数中，无理数的个数有个；4、计算错误：①=；②③④若x2=16，则x==4.5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）①若代数式有意义，则的取值范围是②若代数式有意义，则的取值范围是6、公式用错：①；②=3.14-π；②若c满足，则c=-3（四）【巩固练习】1．B.8C.D.22．如果，那么y的值是（）A.0.0625B.—0.5C.0.5D.±0.53．下列说法中正确的是（）　A.的平方根是±3　B.1的

9、立方根是±1　C.=±1　D.是5的平方根的相反数4．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（　　）A．原点左侧B．原点右侧C．原点或原点左侧D．原点或原点右侧5．若=3.136，则=（）A、0.03136B、0.3136C、±0.03136D、±0.31366．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（）A．B．C．D．7．下列说法正确的是（）A.0.25是0.5的一个平方根B.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C.72的平方根是7D.负数有一个平方根8．若-3，则的取值范围是().A.＞3B.≥3C.＜3D.≤39