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1、数学竞赛地方训练十四第一试一•选择题(每空7分，共42分)1：abc为有理数,且等式a+b近+昭5+2用成立，则2d+999b+1001c的值是(B)A：1999B：2000C：2001D：不能确定2：若"H1,且有5血+2001°+9=0及9b2+2001b+5=0,则纟的值是⑷bO2000923：已知在△ABC屮,ZACB=90ZABC=15BC=1,则AC的长为(B)A：2+V3B：2-V3C：0.3D：V3-V24：如图，在△ABC中Q是边AC上的一点,下面四种情况中,不一定成立的情况是(D)A：AD*BC=AB•BDB
2、；AB2=AD^ACC：ZABD=ZACBD：AB•BC=AC•BD5：①在实数范围内,一元二次方程ax2+bx+c=0的根为兀=“土屈・4处2a②在△ABC中，若AC2+BC2>AB2,则Z^ABC是锐角三角形.③在△ABC和厶中,分别是ZXABC三边口血©分别是△A5G的三边•若a>a,b>b,c>c,则厶ABC的而积S大于△ABC的而积Si以上三个命题中，假命题的个数是(Q)A：0B：1C：2D：36：某商场对顾客实行优惠，规定①如一次购物不超过200元，则不予折扌II②如一次购物超过200元但不超过500元的，按
3、标价给九折优惠①如一次购物超过500元的，其中500元按第②条优惠，超过500元的部分则给与八折优惠某人两次去购物，分别付款168元和423元;如果他只去一次购买同样的商品,则应付款是(C)A：522.8元B：510.4元C：560.4元D：472.8元二：填空题(每小题7分，共28分)1:己知点P在育•角坐标系中的坐标为(0,1),0为坐标原点,ZQPO=150°,则P到0的距离为2,则Q的坐标为—(1,1+循)_或(一1,1+、行)2：已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为4/33：已知xj是正整数
4、，并Hxy+x+y=23,x1y+xy1=120,则x2+y2=344：一个正整数，若分别加上100和16&则可得到两个完全平方数，这个正整数为156第二试一、(满分20分)在直角坐标系中有三点A(0,l),B(l,3),C(2,6);已知直线y=ctx+b上横坐标分别为0丄2的点分别为D,E,F,试求ci,b的值使得Arr+BEr+CF1达到最小值分析:D(O0),A(O,l)E(l,a+b)〃(l,3),F(2,2d+b),C(2,6)++c尸=(b—i)2+(d+b—3)2+(2d+b—6)2=(b—l)2+[(d—3)+b]
5、2+[2(a—3)+b]2=5(d—3+曽尸+殳(庆JJO当Q—3+賈=0,/?・2二0时取最小值，所以h=^,a=^-5662二、(满分25分)(1)证明:若兀取任意整数吋，二次函数y=a^+bx+c总取整数值,那么2a,a—b,c都是整数⑵“写出上述命题的逆命题拼判断真假，且证明你的结论.分析:⑴当x=0,y=c,所以c为整数；当x=—・1时y=a—b+c.a—b=y—c为整数；当兀=—2时,y=4a—2b+c为整数，所以4a—2b是整数，因为4a-2b=2(2a-b)=2(a-b+a)=2(a~b)+2a为整数，所以2°为整数
6、逆命题:略，这是一个真命题理由:由y=cuc2+bx+c,（x为整数）=or2+czx+加一处+（?=心（兀+1）+（/?—所以y为整数，所以是真命题三、（满分25分）如图,DE是△4BC边BC上的两点,F是BA延长线上的一点,ZDAE=ZCAF⑴判断△4BD的外接圆与厶4氏的外接圆的位•置关系拼证明你的结论.（2）若的外接圆半径是的外接圆半径的2倍,BC=64B=4,求BE的长.分析：(1)结论：两圆外切.证明：作QABD的切线/,则Z1=ZB,VZ3=ZB+ZC,AZ3=ZI+ZC,VZ1+Z2=Z3=Z1+ZC,AZ2=ZC,
7、过A点作AP丄/,交QAEC于点P,连PE,VZ-P=ZACE,则Z2=・ZP,:.ZPAE+ZP=90°,于是ZAEP=90°,从而AP是QAEC的切线，即二圆相切于点A；(2)延长DA交QAEC于点G(不妨设F在QAEC1.),连GF,由Z4=ZDAE+ZAED=Z3+ZAFC,有Z4+Z5=180°,则Z4=ZAGF,・・・△ADBsZWGF,:.AB：AF=2(即等于两圆半径比)，但AB=4,:.AF=2（这里可用正弦定理做），•：BA・BF=BE・BC,:.BE=4.
