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1、综合题之相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其屮判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,解方程并检验，如例题1、2、3、4.应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6.应用判定定理3解题不多见，如例题5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).例题解析例1、如图1・1,抛物线y=lx2--x4-
2、4与兀轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与'82j轴交于点C・动直线£F(EF/々轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段03上以每秒2个单位的速度向原点O运动.是否存在I,使得△BFF与AABC相似.若存在，试求；I"的值；若不存在，请说明理由.【解析】△BPF与AABC有公共角那么我们梳理两个三角形中夹的两条边.17△ABC是确定的.由y=-x2--x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).82于是得到BA=4fBC
3、=4^5.还可得到竺=—=1.EF0B2△BPF中,BP=2t,那么BF的长用含r的式子表示出来，问题就解决了.在RtAEFC中，CE=t,EF=2t,所以CF=品.因此BF=4y[5-y/5t=y/5(4-t).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：①当里=竺时，—・解得f=*(如图1-2).BCBF4>/575(4-03②当型=竺时，4=^(4-r)解得/=却(如图1-3).「BCBP4^52/7例2、如图2・1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax1+bx(Q0)经过点A和兀轴正半轴上的点B
4、,A0=B0=2,ZAOB=120°.(1)求这条抛物线的解析式；(2)连结QM,求ZAOM的大小；(3)如果点C在兀轴上，且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.【解析】AABC与中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.笫(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2・2,过点/H乍丄y轴，垂足为容易得到71(-1,73).再由址-1,侖)、3(2,0)两点，可求得抛物线的解析
5、式为y=半兀.⑵由y寻普"£(—1)2芈得顶点M(1,-所以tanZBOM=所以ZBOW=30°・所以ZAOM=150°・(3)由A(—1,巧)、3(2,0),可得ZABO=30°.因此当点C在点3右侧时，ZABC=ZAOM=]50a.所以AABC与ZVIOM相似，存在两种情况：①当型=21BCOM"时'B*=2.此时C(4,0)(如图2-3).例3、如图3-1,抛物线y=ci^+bx~3与x轴交于4(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x轴下方的抛物线上是
6、否存在点M,过M作MN丄兀轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】AAMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形.一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程.(1)抛物线的解析式为y=-?+4x—3.(2)由-x2+4x-3=-(x-2)2+1,得£)(0,—3),C(2,1).如图3・2,由3(3,0)、£)(0,—3)、C(2,1),可知ZCBO=45°，一ZDBO=45°.所以ZCBD=90°,KBCx/21图34设点M
7、、“的横坐标为x,那么MW=—%/，而山的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当/V在A右侧时，NA=x~,分两种情况列方程:①当給診时(Ha解得心罟・此时叫―)(如图3・3)・②当鈴时,X-]1乔后=§•解得□•此吋呱-⑸(如图3-5).当N在4左侧时，NA=—x,也要分两种情况列方程:①当箸等彳时,占匕•解得“沖，不符合题意(如图34②略需抄占H例4、如图4-1,在平面直角坐标系中,A&0),3(0,6),点C在x轴上，BC平分ZOBA.点P在直线4B上，直线CP与y轴交于点F
8、,如果AACP与△BPF相似，求直线CP的解析式.【解析】首先求得点C(3,0).AACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？①如图4-2,当点P在线段上时，ZCP与△BPF中，ZAPC与ZBPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是饨角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的.可以求得F(0,—4),于是直线CF(CP)为y=^x-4.②如图4・3,当点P在AB的延长线上时，AACP与
