相似之存在性问题训练题

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1、相似之存在性问题训练题1．如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB向点B运动；同时点Q从点C出发，沿CA向点A运动，当点P到达点B时，点Q随之停止运动．已知．（1）当AP为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC．（2）探究：是否存在这样的AD，

2、使得△BME与△CNE相似？10/101．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA=2，OC=．（1）求B，C两点的坐标；（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式；（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10/10如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥

3、AC，交射线BB1于点F，G是EF的中点，连接DG．设AD=5a，CE=3a．（1）当a为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长；（2）当△DEG与△ACB相似时，求a的值．10/10如图，在△ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q从点C出发，沿CB向点B移动．在运动过程中，始终满足AP=2CQ，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设CQ=x．（1）求△CPQ的面积S关于x的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出x的值．【参考答案】10/101

4、.解：（1）由题意：设AP=4x，则CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥BC时，，即：解得：此时：AP=cm∴当AP=cm时，PQ∥BC（2）能，AP=cm或AP=20cm①△APQ∽△CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cm②△APQ∽△CQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．2.解：（1）证明：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE平分ACD交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角10/10∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CD

5、E+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC（2）存在∵在Rt△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=10①当∠NCE=∠MBE时∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△CNE∵∠MBE=∠NCE∴BD=CD∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB=5②当∠NCE=∠MEB时∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△ENC10/10∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5或时，△BME与△

6、CNE相似．3.解：（1）由题意，OA=2，OC=，且四边形OABC是矩形∴BC=OA=2∴B(，2)，C(，0)（2）由折叠的性质知：BB′⊥AC∵A(0，2),C(，0)∴直线AC的表达式为：∴直线BB′的斜率为，且经过B(，2)∴直线BB′的解析式为：【也可以通过推导特殊角进行计算】（3）存在，P1(，5)，P2(，1)【提示：P1对应在顶点A处出现直角，P2对应在顶点D处出现直角，如果直角顶点在P处，则P一定在P1与P2之间，可以推导P处不可能出现直角．计算坐标可以通过斜率乘积等于-1来计算，也可以通过构造三等角模型来计算．】

7、4.解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=410/10∴AB=5又∵AD=AB，AD=5a∴a=1，此时CE=3，∴DE=AE-AD=3+3-5=1（2）当点D在点E左侧，即：0≤a<时，DE=3a+3-5a=3-2a．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：a=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：a=；（2）当点D在点E右侧，即：a>时，DE=5a-(3a+3)=2a-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：a=；④△DEG∽△BCA，此时

8、，即：，求得：a=．综上，a的值为或或或．5.解：（1）过点P作PE⊥BC交BC于E在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8∴AC=1010/10∵∠B=90°，PE⊥BC∴PE∥AB∵AP≤AC，CQ≤BC，CQ=x，A