中考专题复习·四边形综合专题

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1、谢湘君中考专题复习·四边形综合专题1、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）当α=30°时，求线段EF的长度．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，  ∴AD∥BC，AO=OC， ∴AECF＝OEOF＝AOOC＝1，∴AE=CF，OE=OF， 在△BCD是菱形，∠ABC=60°， ∴∠OAD=60°， ∴∠AEO

2、=90°， 在Rt△AOB中， sin∠ABO=AOAB=A△AOE和△COF中， AO＝COOE＝OFAE＝CF∴△AOE≌△COF． （2）当α=30°时，即∠AOE=30°， ∵四边形A12，∴AO=1， 在Rt△AEO中， cos∠AOE=cos30°=OEAO=32， ∴OE=32， ∴EF=2OE=3．2、如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12

3、，求OE的长【试题分析】（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长解：（1）过点O作ON⊥AB于点M∵正方形OECF∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0＝∠FAO

4、∴点O在∠BAC的平分线上（2）方法一：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13易证：BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE故：BE＝12－OE，AF＝5－OE显然：BM＋AM＝AB　即：BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝2方法二利用面积法：S△ABC＝S△ABC＝从而解得。3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=

5、8，求线段AD的长度．证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．4、如图，在▱ABCD中，

6、对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．分析：（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB，∴AB=CB，∴▱ABCD是菱

7、形．∴AC⊥BD；（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14，∴AO=14×=，在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14，∴AE=AB=16，∴OE=AE﹣AO=16﹣=．点评：本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．5、如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.（1）求证

8、：△ABC≌△ABF（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明.【解答过程】（1）证明：∵EF∥AB∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E∵AE=AF∴∠EFA=∠E∴∠FAB=∠CAB∵AC=AF，AB=AB∴△ABC≌△ABF（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.理由：∵EF∥AB∴∠E=∠CAB=60°∵AE=AF∴△AEF是等边三角形∴AE=EF，∵AE=AD∴EF=AD∴四