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时间:2019-09-18
《中考专题复习·四边形综合专题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、谢湘君中考专题复习·四边形综合专题1、如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l,直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F. (1)求证:△AOE≌△COF; (2)当α=30°时,求线段EF的长度.解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC,AO=OC, ∴AECF=OEOF=AOOC=1,∴AE=CF,OE=OF, 在△BCD是菱形,∠ABC=60°, ∴∠OAD=60°, ∴∠AEO
2、=90°, 在Rt△AOB中, sin∠ABO=AOAB=A△AOE和△COF中, AO=COOE=OFAE=CF∴△AOE≌△COF. (2)当α=30°时,即∠AOE=30°, ∵四边形A12,∴AO=1, 在Rt△AEO中, cos∠AOE=cos30°=OEAO=32, ∴OE=32, ∴EF=2OE=3.2、如图,在ABC中,∠C=90º,BD是ABC的一条角一平分线,点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形,(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12
3、,求OE的长【试题分析】(1)考察角平分线定理的性质,及直角三角形全等的判断方法,“HL”(2)利用全等得到线段AM=BE,AM=AF,利用正方形OECF,得到四边都相等,从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长解:(1)过点O作ON⊥AB于点M∵正方形OECF∴OE=EC=CF=OF,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC,OM⊥AB于M,OE⊥BC于E∴OM=OE=OF∵OM⊥AB于M,OE⊥BC于E∴∠AMO=90°,∠AFO=90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0=∠FAO
4、∴点O在∠BAC的平分线上(2)方法一:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12∴AB=13易证:BE=BM,AM=AF又BE=BC-CE,AF=:AC-CF,而CE=CF=OE故:BE=12-OE,AF=5-OE显然:BM+AM=AB 即:BE+AF=1312-OE+5-OE=13解得OE=2方法二利用面积法:S△ABC=S△ABC=从而解得。3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.(1)求证:△BDE∽△BAC;(2)已知AC=6,BC=
5、8,求线段AD的长度.证明:(1)∵∠C=90°,△ACD沿AD折叠,∴∠C=∠AED=90°,∴∠DEB=∠C=90°,∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BAC;(2)由勾股定理得,AB=10.由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°.∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4,在Rt△BDE中,由勾股定理得,DE2+BE2=BD2,即CD2+42=(8﹣CD)2,解得:CD=3,在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即32+62=AD2,解得:AD=.4、如图,在▱ABCD中,
6、对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.(1)求证:AC⊥BD;(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.考点:菱形的判定与性质;平行四边形的性质;解直角三角形.分析:(1)根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB,从而判定平行四边形ABCD是菱形,根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论;(2)分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE,从而利用OE=AE﹣AO求解即可.解答:解:(1)∵∠CAB=∠ACB,∴AB=CB,∴▱ABCD是菱
7、形.∴AC⊥BD;(2)在Rt△AOB中,cos∠CAB==,AB=14,∴AO=14×=,在Rt△ABE中,cos∠EAB==,AB=14,∴AE=AB=16,∴OE=AE﹣AO=16﹣=.点评:本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识,解题的关键是读懂题意,选择合适的边角关系,难度不大.5、如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作⊙A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F,连接AF,BF,DF.(1)求证
8、:△ABC≌△ABF(2)当∠CAB等于多少度时,四边形ADFE为菱形?请给予证明.【解答过程】(1)证明:∵EF∥AB∴∠FAB=∠EFA,∠CAB=∠E∵AE=AF∴∠EFA=∠E∴∠FAB=∠CAB∵AC=AF,AB=AB∴△ABC≌△ABF(2)当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形.理由:∵EF∥AB∴∠E=∠CAB=60°∵AE=AF∴△AEF是等边三角形∴AE=EF,∵AE=AD∴EF=AD∴四
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