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《高二数学人教B版必修4学案：222向量的正交分解与向量的直角坐标运算含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算【明日标、知重点】1・了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示2掌握两个向量和、差及数乘向量的樂标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.填要点•记疑点1•向量的直角坐标（1）正交分解：在正交基底下分解向塑叫做正交分解.（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴，尹轴方向相同的两个单位向量°,s作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使得a=xel+ye2f则有序数对（x，“）叫做向量a的坐标,a=（x,尹）叫做
2、向量a的坐标表示.（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若/（x,尹），则鬲=（x,卩）；若/4（X
3、,pi）,B（x2,尹2），贝Mb=（兀?一£,坨一卩丄）.2.向量的直角坐标运算⑴若a=（xi，/）,b=（X2,力），则a+b=（xL+xvn+yi）»即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.（2）若"=（X］,尹］）,b=g,力），则a—b=（XA—x^y—y^＞即两个向量差的坐标等于这两个向量相应处标的差.（3）若a=（x,刀，AER,则加=（厶，小）,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原
4、来向量的相应坐标.探要点•究所然［情境导学］我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一平面向量的坐标表示思考1如果向量a与方的基线互相垂直，则称向量a与〃垂直，记作a丄〃.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答互相垂直的两个向塑能作为平面内所有向量的一组基底.思考2在正交基底下分解向量，叫做正交分解.如图，向量是两个互〃；才丿；相垂直的单位向量，向量a与,基线的夹角是30。，且
5、a
6、
7、=4,以向量i、/:为基底，向量a如何表示？°14答a=2书i+2j.小结在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量引、血作为基底.对于平面内的任一向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,尹，使得a=xe+)“2•我们把有序数对(x,刃叫做向量a的坐标，记作a=(兀，j),其中x叫做a在兀轴上的坐标，尹叫做a在尹轴上的坐标.显然有，©=(1,0),02=(0,1),0=(0,0).思考3在平面直角坐标系中，作向量OA=a,若厉=(x,刃，此时点/的坐标是什么？根据下图写出向量a,b
8、,c,〃的坐标，其中每个小正方形的边长是1.y\b/、a/jO1C/d\答/(x，尹)・a=(2,3),方=(—2,3),c=(—3,—2),d=(3,—3).探究点二平面向量的坐标运算思考1设i、/是与x轴、，轴同向的两个单位向量，若设a=(xi，h),b=(X2,力)，则a=xi+y^y〃=炫+灯，根据向量的线性运算性质，向量a+方，a_b,Aa(AR)如何分别用基底i、/表示？答a+b=(xi+也"+0，1+丿2”，a—b=(x~x2)i+0*i—yi)j，Aa=bc]i+Xy]j.思考2根据向
9、量的坐标表示，向量a+b,a~b,Xa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算？答a+b=(xi+x2^必+力)；a—b=(xi—x2y刃~X2)；Ad=(Zx1Ayi).两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3已知点A(x,pi),3(x2，夕2)‘那么向量力3的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别?答AB=(x2—xif力一刃).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐
10、标减去始点坐标.(1)向量a=(x,刃中间用等号连接，而点的坐标力(兀，刃中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的处标相同.(3)在平面直角坐标系中，符号(兀，尹)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x,y)或向量(x,y).例1已知d=(2,1),方=(—3,4),求a+方，a—b,3a+4b的坐标.解a+方=(2,1)+(—3,4)=(—1,5),a-ft=(2,l)-(-3,4)=(5,-3),3a+4〃=3(2,l)+4(—3,4)=(6,3)+(—12,
11、16)=(—6,19).反思与感悟(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1已知4=(一1,2),方=(2,1),求：(1)2a+3〃；(2)a_3b；(3)尹一器.解(1)2。+3〃=2(—1,2)+3(2,1)=(—2,4)+(6,3)=(4,7).(2)。一3〃=(一1,2)—3(2,1)=(
