高中数学 学业分层测评19 向量的正交分解与向量的直角坐标运算（含解析）新人教b版必修4

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1、学业分层测评(十九)向量的正交分解与向量的直角坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)A.(－2，－1)　　　　　　B.(2,1)C.(1,2)D.(－1，－2)【解析】　B＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).【答案】　C2.(2016·威海高一检测)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(　　)A.(1，－1)B.(－1,1)C.(－4,6)D.(4，－6)【解析】　因为4a,3b－

2、2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6).【答案】　D3.(2016·孝感高级中学期末)若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c用a，b表示为(　　)A.－a＋bB.a－bC.a－bD.－a＋b【解析】　设c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，则∴∴c＝a－b.故选B.【答案】　B4.已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)

3、A.平行于y轴B.平行于第一、三角限的角平分线C.平行于x轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】　a＋b＝(0,1＋x2)，故平行于y轴.【答案】　A5.(2016·抚顺市质检)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)A.B.C.D.【解析】　如图所示，∵∠AOC＝45°，∴设C(x，－x)，则＝(x，－x).又∵A(－3,0)，B(0,2)，∴λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，∴⇒λ＝.【答案】　C二、填空题6.已知点A(2,3)

4、，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________.【解析】　因＝，即－＝(－)，所以＝＋＝(2,3)＋(－1,5)＝.【答案】　7.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________.【导学号：72010059】【解析】　根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)，∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4).【答案

5、】　(3,4)三、解答题8.若向量

6、a

7、＝

8、b

9、＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标.【解】　设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有解得或故所求向量为a＝，b＝，或a＝，b＝.9.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋.(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标.【解】　(1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1

10、)，－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(6，－2)＋＝.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)，3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10).[能力提升]1.在四边形ABCD中，＝＝(1,0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是(　　)A.B.C.D.【解析】　为在方向上的单位向量，记为e1＝，类似地，设＝e2＝，＝e3＝，所以e1＋e2＝e3，可知四边形BNGM为菱形，且

11、

12、＝

13、

14、＝

15、

16、，所以∠MBN＝120°，

17、从而四边形ABCD也为菱形，

18、

19、＝

20、

21、＝1，所以S▱ABCD＝

22、

23、·

24、

25、·sin∠ABC＝.【答案】　D2.以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标.【解】　因为△AOB为等边三角形，且A(2，－2)，所以

26、

27、＝

28、

29、＝

30、

31、＝4，因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：＝＝(2，2).所以＝－＝(2，2)－(2，－2)＝(0,4).当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：＝(0，－4)，所以＝－＝(0，

32、－4)－(2，－2)＝(－2，－2).综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2).