【高考必备】【金版优课】高中数学人教A版选修2-1课时作业：3.2.3空间向量与空间角.

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1、第三章3.2课时作业31一、选择题1.如图，在正三棱柱ABC~A{BXC{中，若4B=y[iBBi，则与C"所成的角的大小B.900D.75°为（）A.60°C.105°Ci(0,号,2，力(0，■号,0),解析：取AC中点D,建立如图坐标系，设M二°,则5（-〃1（书7,0,普a）..•.cos{AB[,QB)二"B二。AB^B・・・/5与C0所成的角为90。.答案：B2.正方体ABCD-A}B}C}D}中，E,F分别为M3,CQi的中点,则佔与平面4莎夹角的正弦值为（）A.誓解析：建系如

2、图，设棱长为1,则4(1,0,1),E(1*,0),F(0,*,1),5(1,1,1)・/〃]=(0,1,0).设平面AXEF的法向量n=(x,yfz),tvA]E=0rnAF-0rri尹・z二0・x+扌二0.令厂2,1,1,—►/.w=(1,2J)rcos

3、,c(i,迈，0),fc=(i,迈，・1),平面ABCD的一个法向量为w=(0,0,1),所以cos{PC,n〉PCnPQ所以｛PCtn>=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30。，故选A.答案：A4.正方形ABCD所在平面外冇一点P,刃丄平面4BCD.若R4=4B,则平面刊3与平面PCD的夹角为()A.30°C.60°解析：建系如图，设AB=l,贝!M(0,0,0),5(0,1,0),F(0,0,l),Q(l,0,0)

4、,C(Z,0)・平面丹B的法向量为二(1,0,0)•设平面PCD的法向量B.45°D.90°n2=(xry,z)rjiyPD=0,jiyCD=0t令x=1，则z=1.n2=(l,O，l)rcos

5、PC=/.cos{AB,PC}ABPC_1_V6AB\PC1X&6答案:晋6.正三和形MC与正三角形BCD所在平面垂肓，则二面角A-BD-C的正弦值为解析：取BC中点0,连接40,DO.建立如右图所示空间直角坐标系，设BC=l,则力（0,0,乎），B（0,・0)・・•・0A=（0,0,申），鬲二（0,*,誓），丽二（爭,*由于㈢=（0,0,平）为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n=（l,答案:2-^552^55/.cos(n,OA)=平,sin{n,OA)5.[201

6、4-辽宁抚顺市四校统考]如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD~A}BXCXD^,P是棱CG上的一点，CP=m,若直线〃与平而BDDB所成角的正弦值为噜，则〃7=P解析：如下图，以Q为原点，D4、DC、DO所在直线分别为x,八z轴建立空间直角坐标系D■兀W,则力(1,0,0),mi,加)，C(0,l,0),2)(0,0,0),所以矗二(・1,1,m),AC=(-1,1,0),又花丽=0,花丽二0,所以处是平面BDDB的一个法向量・三、解答题4设力戶与平面BDDB所成的角为〃则sin〃

7、AP-AC_2AP\AC晅甘亦5.丹丄平面ABC,/C丄BC,PA=AC=,BC=y[2.求二面饬/—PB—C的余弦值.解：法一：如图,建立空间直角坐标系,则^(0,0,0),B(y[2,1,0),C(0丄0),mo,i),设平面PAB的法向量为山=(xi,刃,zi),.后二(0,0,1),AB=(yl2,1,0)・:临…令X]=1,则街=(1,-y[2,0).C>=(0r・1J)rCB=(y]2t0,0).设平面PBC的法向量为血=(x2,yi.Z2),+Z2=0=0.“CP=ji

8、rCB=令z2=l,则血二(0,1,1)・.、n^-yl2a/3•mS®〉=^=V3XV2=-3-•・•所求二面角为锐角，a/3・•.二面角4・PB・C的余弦值为¥•法二：如图所示，取PB的中点D,连结CD.•・•丹丄平面ABC,:.PAA,AC.・•・PC=yjPA2+AC2=y[2.•••PC二BC二圧・・.CD丄PB.作AEA.PB于E,那么二面角力■尸3・C平面角的大小就等于疋与易的夹角0.•・・刊丄平面ABC,BCA-AC,:.PC±BC.:.PB=yJPC2+BC2=2.PA21