向量的概念及表示优秀教案

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1、向量的概念及表示                      执教:张亮   点评:孔凡海【教学目标】一、通过对实例的引入,了解向量概念产生的实际背景;二、理解平面向量和向量相等的概念;三、掌握向量的几何表示;四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。【重点难点】重点:向量的概念和向量的几何表示;难点:向量概念的理解【点评】知识技能,数学思考,问题解决,情感态度。目标明确有效,重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,是沟通代数、几何

2、的工具。向量由大小和方向两个因素确定,大小反映了向量数的特征,方向反映了向量形的特征,向量是集数形于一身的数学概念,是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质,以及向量、点、序偶之间的对应关系,于是,可以把图形的基本结构转化为向量运算,把图形的基本性质转化为向量的运算律,这就是几何问题代数化处理。这样,几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法,也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。【教学过程】一、设置情境情景 在如图所示的

3、情景中,猫能否追上老鼠?合作探究 看下面哪些量是与众不同的:(1)线段的长度  (2)物体的质量  (3)物体的体积  (4)物体所受重力(前三个都是数量,即只有大小,而物体所受重力是矢量,既有大小又有方向)【点评】根据学生的生活经验,通过问题、设疑来创设思维的情境,引起认识的需要;通过揭露矛盾来引发思考,激发学习的兴趣。通过学生活动,感知数学,进行意义建构。物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念,贴近学生已有的经验,比较自然,也体现

4、了“最近发展区”原理的运用。二、探索研究问题一 情景中向我们呈现了一个新的量,那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢?1.向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。师:你还能举出一些向量的例子吗?师:在这一概念中你认为关键词有哪些?板书 向量的二要素 大小和方向师:我们怎样用符号来表示向量呢?重力加速度是一个向量,那么在物理中我们是用什么表示它的呢?2.向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师:那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢?有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向

5、量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为: 。大小记为:│ │板书 有向线段的三要素 起点、终点、长度。②字母表示法:  可表示为  练习 1.温度有零上和零下之分,温度是向量吗?为什么?2.向量 和   同一个向量吗?为什么?师:我们只是用有向线段来表示向量,那么有向线段是向量吗?向量是有向线段吗?【点评】注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差,明确数学上的向量是“自由“向量,只有大小和方向两个要素,与起点无关。消除由于物理中力的引入而导致的误解。问题二 数量中有“0”,“1”……,比

6、如0度。向量中有没有与之类似的量,如果有又怎样定义这些特殊的量呢?【点评】通过类比联想,认识向量这个“二元”数。从已知的有理数的相似性,推断未知的向量的相似性,进行猜想。并不满足于对相似性的模糊认识,坚持把它们的相似性用准确的数学形式表达出来。经历数学发现过程,体会合情推理在数学发现中的作用,发展学生的创新意识和创新能力。逐步让学生学会建构数学知识。3.特殊的向量。(1) 零向量 长度为零的向量,记为 (2) 单位向量 长度等于一个单位的向量师:这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的,那

7、么有没有方向的特殊的向量呢?问题三 数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况,你怎么考虑向量中的类似问题?【点评】设法造成学生“愤”、“悱”的状态,使他们想求明而不得,想说却不能。然后引导他们去探索、去发现,提出解决问题的门径,引导学生“自得”。4.向量间的关系(1)平行向量 方向相同或者相反的向量。若 与 平行,记作 // 规定   与任一向量平行,即 // 师:你能画出一组平行向量吗?师:如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点  ,这时它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?

8、生:是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上。师:对!由此,我们把平行向量又叫做共线向量。(2) 相等向量 大小相等方向相同的向量,记 = (3)相反向量 与 大小相等方向相反的向量,记- 【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案(1)任一向量与它的相反向量不相等 (2)平行向量的方向一定相同(3)不相等的向量一定不平行(4)模相等的两个平行向量是相等的向量【例2】如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,在如图所标出的向量FE、OA、OD、OC、CB中:(1) 试找出与 

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