向量的概念及表示

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1、向量的概念及表示【教学目标】（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.【重点难点】重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解【教学过程】一、设置情境【情景】（如图）湖面上有三个景点O，A，B，（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时

2、后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。【合作探究】看下面哪些量是与众不同的：（1）线段的长度（2）物体的质量（3）物体的体积（4）物体所受重力（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）二、探索研究【问题一】　情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？1．向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。师：你还能举出一些向量的例子吗？师：在这一概念中你认为关键词有哪些？板书　向量的二要素　大小和方向师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物

3、理中我们是用什么表示它的呢？2．向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：②字母表示法：可表示为第4页练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？2．向量和是同一个向量吗？为什么？师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？【说明】注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差，明确数学上的向量是“自由“向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。消除由于物理中力

4、的引入而导致的误解。【问题二】　数量中有“0”，“1”……，比如0度。向量中有没有与之类似的量，如果有又怎样定义这些特殊的量呢？3．特殊的向量。(1)零向量　长度为零的向量，记为(2)单位向量　长度等于一个单位的向量师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向的特殊的向量呢？【问题三】　数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考虑向量中的类似问题？4．向量间的关系（1）平行向量　方向相同或者相反的非零向量。若与平行，记作//规定与任一向量平行，即//师：你能画出一组平行向量吗？师：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一

5、点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？生：是平行向量，各向量的终点都在同一条直线上。师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量。（2）相等向量　大小相等方向相同的向量，记=（3）相反向量　与大小相等方向相反的向量，记【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案（1）任一向量与它的相反向量不相等（2）平行向量的方向一定相同（3）不相等的向量一定不平行（4）模相等的两个平行向量是相等的向量【例2】已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：OFEDCBA（1）试找出与共线的向量；（2）确定与相等的向量；（3）与相等吗？解：（1

6、）与共线的向量有和；第4页引申：除外，图中所给7点的连线中，与共线的向量有几个？9个（2）与长度相等且方向相同，故=；引申：除外，图中所给7点的连线中，与相等的向量有几个？3个（3）虽然//，且

7、

8、=

9、

10、，但它们方向相反，故这两个向量并不相等。引申：除外，图中所给7点的连线中，与互为相反向量的向量有几个？4个DCBA【例3】在图中的4×5方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？解：当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量。这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个

11、，所以共有7个向量与相等。与长度相等的共线向量（除外）共有7×2+1=15（个）DCBAFE三、课堂练习1．写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为1）。2．判断下列命题是否正确，若不正确，简述理由.①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；②模相等的两个平行向量是相等的向量；③若和都是单位向量，则=；④两个相等向量的模相等；⑤任一向量与它的相反向量不相等；⑥向量和不共线，则和都是非零向量。【合作探究】（1）向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一直线上；第4页（2）在四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD必为平行四边形．（3）以正方形的四个顶点

12、为端点的向量中，可得到多少种不同的模？有多少种不同的向量？（答案：2种不同的模，