《概率论与数理统计》4

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1、第四章、随机变量的数字特征数学期望(均值)(一)离散型随机变量的数学期望1•定义：设离散型随机变量X的分布律为：P{X=xk}=pk9k=1929...o若级数工兀皿绝对收敛(即级数工I兀也收敛),则定义X的数学期•♦望(简称均值或期望)为:E(X)=XxiPi注：(1)当X的可能取值为有限个时，E(X)=±xiPiO(2)当X的可能取值为无限多个时，E(X)=±xiPi。例1•设随机变量X的分布律为:X・102P0.30.20.5求E(X)。解：E(X)=(-1)x0.3+0x0.2+2x0.5=0.2例2•甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为：X012P

2、00.20.8Y012P0.10.80」是比较他们成绩的好坏。解：E(X)=0x0+1x0.2+2x0.8=1.8(5>)E(y)=0x0.1+1x0.8+2x0.1=1(5>)所以,甲的成绩好于乙的成绩。2•三种特殊离散型随机变量的数学期望(1)两点分布的数学期望：设X〜B(l,p),随机变量X的分布律为:X01P1-PP其中Ovpvl,有E(兀)=ox(l-p)+lxp=p(2)二项分布：设X〜B(n,p),即Pf=P{X=i}=-g0,1,2,,n)z则E{X)=np(3)泊松分布设X-P(A),其分布律为：P{X“}=*t(i=(M,・・・)z则X的数学期V.望为E(X)=

3、AO例3•设随机变量X〜B(5z0),已知E(X)=1.6,求参数po解：由已知X〜B(5,p),因此E(X)=“=5p=l・6,p=0.32o例4•设随机变量X的所有可能取值为1和*,且P{X=l}=0・4,E(X)=0・2，求兀。1Y=3解：有已知P{X=l}=0・4,得E(X)=0.4+0.6x=0.2,3•离散型随机变量函数的数学期望定理4-1:设离散型随机变量X的分布律为：P{X=xk}=Pk9k=t29令Y=g(X)z若级数亍gg)几绝对收敛，则随机变量Y的数学期望k=l为E(Y)=E(g(X))=Xg(xk)pkk=l例5•设随机变量X的分布律为X-1012P0.30

4、.20.40」令丫=2X+1,求E(y)。解：由于X的分布律为:X-1012P0.30.20.40.1所以，Y的分布律为:Y-1135P0.30.20.40.1所以，Y的数学期望为:E(y)=-1x0.3+1x0.2+3x0.4+5x04=1.6Z=舀的数学期望Z014P0.20.70.1E(Z)=E(X2)=0x0.2+1x0.74-4x0.1=1.1例6.设随机变量X的分布律为X・100.512P0.30.20.10」0.3解：由公式e(y)二fgdjpR得:k=lE(Y)二工gg)几=工琉Pk=(-1)20.3+02x0.2+0.52x0.1+l2x0.4+22x0.3=1.

5、625(一)连续型随机变量的期望1•定义：设连续型随机变量X的概率密度为_/•(*),若广义积分「寸(兀)必绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望(简称期望或均值),记为E(X),即E(X)=fxf(x)dx例7•设随机变量X的概率密度为[2x,0

6、x3例8•设随机变量X的概率密度函数为0,其他求E(x)。2cos2xdx=0(函数工•一cos?兀是奇函数)n2•三种重要的连续型随机变量的数学期望(1)均匀分布(X〜U(q0))9a

7、宀>°,[0,x<0砲)=i(3)正态分布(X~"(“，(/))1_(―“V9—°°0常数），求W的数学期望。r+8解：E(W)=E(fcv2)=jkv2f(v)dv=丿一8例lO.igX的概率

8、密度为x,0

9、X-E(X)

10、]=p

11、X-E(X)

12、/(xWx=£

13、x-l

14、xrfx+j(2

15、x-l

16、(2-x)rfxrlf2J=[(I一x)xdx+](x-1)(2一x)dx=—(一)二维随机变量函数的数学期望1・离散型随机变量的数学期望E(Y)=XyjPj=XXyjPij♦•♦J