概率论与数理统计 课件4

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1、第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征开课系：数学学院主讲教师：刘亚平Email:yapingliu66@tom.com§4.1数学期望4.1.1数学期望的定义例：某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X的分布律如下：X01234p0.150.270.440.100.04i问车床平均一天出几个次品？设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为x=++++0*0.151*0.272*0.443*0.104*0.044==∑xpkk1.61k=0定义4.1.1.P(107)若离散型随机变

2、量X～P{X=x}=p,k=1,2,…n,如果级数nkk∑xpkkk=1绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望（均值）。记为nE(X)=∑xkpkk=1数学期望——描述随机变量取值的平均特征例：甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数；X8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3试问哪一个人的射击水平较高？解：甲、乙的平均环数可写为EX=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5EY=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好．定义4.1

3、.2.P(108)若连续型随机变量X～f(x),∞如果广义积分∫xfxdx()−∞绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望（均值）。记为∞EX()=∫xf()xdx−∞例：设随机变量X～e(λ)，求E（X）。解：λex−λx,0>Xfx∼()=0,其它由定义有∞EX()=∫xfxdx()−∞+∞1+∞−λx−λx=∫λedx=∫0λλxed()x0λ11=Γ=(2)λλ例设随机变量X服从Cauchy分布，其密度函数为11f()x=⋅()−∞

4、x∫2∫2π1+xπ1+xπ−∞−∞00=+∞+∞这表明积分∫xf()xdx不绝对收敛，因而EX不存在．−∞4.1.2随机变量函数的数学期望例：设随机变量X的分布律为X-101P111k333求随机变量Y=X2的数学期望解:Y10212∴E(Y)=1⋅+0⋅=P21333k33定理4.1.1P(108)设X为随机变量，Y=g(X)是X的函数(1)若离散型随机变量X～P{X=x}=p,k=1,2,…,kk∞如果级数∑gxp()kkk=1绝对收敛，则∞EY()==EgX(())∑gxp()kkk=1(2)若连续型随机变量X～f(x),如果广义积

5、分∞∫gxfxdx()()绝对收敛，则−∞∞EY()==EgX(())∫gxfxdx()()−∞仅证明离散型随机变量函数的期望:已知X的分布律，易知Y=g(x)的分布律，如下表Xxx…x…12ippppij12iY=g(X)g(x)g(x)g(x)12i由离散型随机变量期望的定义，知∞EY()==EgX(())∑gxp()kkk=1定理4.1.2P(108)设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)是X的函数(1)若离散型随机变量(X,Y)～P{(X,Y)=(x,y)}=p,ijij∞i,j=1,2,…,如果级数∑gxyp(,)ijij绝

6、对收敛，则ij,1=∞EY()==EgX(())∑gxyp(,)ijijij,1=(2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y),如果广义积分∞∞∫∫g(,)(,)xyfxydxdy绝对收敛，则−∞−∞∞∞EZ()==EgXY((,))∫∫gxyfxydxdy(,)(,)−∞−∞例：设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)2x1−f(x)=e22π2∞x2∞2xx−x−22=−de2E(X)=∫edx∫−∞2π−∞2π2∞x1−=e2dx∫=12π−∞2∞3xx−32E(X)=∫edx=02π−∞2∞4xx−42E(X

7、)=∫edx2π−∞2∞3x2x−∞2x=−de2x−∫=3∫e2dx2π−∞2π−∞=3例：设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)xy1200.150.1510.450.25解:E(XY)=0×1×0.15+0×2×0.15+1×1×0.45+1×2×0.25=0.95例：设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。y2,(x,y)∈A0x解：f(x,y)=0,其它；x+y+1=0∞∞001EX=∫∫∫xf(x,y)dxdy=∫dxx⋅2dy=−

8、3−∞−−∞−1−1x001E(-3X+2Y)=∫dx∫2(−3x+2y)dy=3−1−x−1∞∞001EXY=∫∫∫xyf(x,y)dxdy=∫dxx⋅2ydy=12−∞−−∞