随机过程_王荣鑫_答案

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1、第二章平稳过程1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？Xt（1）设随机过程X(t)e，t>0，其中X具有在区间(0,T)中的均匀分布解：∵该随机过程的数学期望为Txt11xtT1Ttm(t)EX(t)edxe[e1]constx00TTtTt∴该随机过程不是平稳过程。（2）设随机过程{X(t),t}在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t有P{X(t)1}pP{X(t)0}1p其中0p1解：∵该随机过程的数学期望为m(t)EX(t

2、)1P{X(t)1}0P{X(t)0}p（常数）X该随机过程的自相关函数为：R(t,t)E[X(t)X(t)]1P{X(t)X(t)1}0P{X(t)X(t)0}X2P{X(t)1}P{X(t)1}p结果与t无关∴该随机过程是平稳随机过程。（3）设{Xn,n1}是独立同分布的随机序列，其中Xj的分布列为Xj1-1，j=1,2,…11P22n定义YnXj，试对随机序列{Yn,n1}，讨论其平稳性。j111解：∵EXj1P{Xj1}(1)P{Xj1}11022

3、nn∴EYnE(Xj)EXj0（常数）j1j1又因为随机序列Yn的自相关函数。nnmRY(n,nm)EY(n)Y(nm)EXjXkm为自然数j1k11nnmEXjXjXkj1k1kn122nnmnnmEXjXjXkEXjEXjXkj1j1kn1j1j1kn1nm222EYnEXjEXkEYnDYn(EYn)DYnj1kn1n

4、nnn222∵DYnDXjDXjEXj(EXj)EXjnpj1j1j1j1即RY(n,nm)npRY(m)∴该随机过程不是平稳过程。（4）设随机过程X(t)Acos(0t),t，其中0为正常数，A,是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上均匀分布，而服从在区间[0，2]上的均匀分布。121解：∵mx(t)EX(t)E[Acos(0t)]1dacos(0t)d0（常数）002而自相关函数为：21RX(t,t)EX(t)X(

5、t)E[Acos(0t)cos(0(t))]cos06∴该随机过程是平稳随机过程。11（5）设随机过程X(t)cost,t，其中在区间(0,0)中服从均匀22分布。111(0,0)解：随机变量的概率密度为f()220其它110110∴mxtEX(t)2costdsint2(t0)110t0222tsin()cos0t不是常数t2∴该随机过程不是平稳过程。21r（6）设有随机过程X(t)XYt

6、,t，而随机向量(X,Y)的协旗阵为2r2解：∵mx(t)EX(t)E(XYt)EXtEY当t0时mx(t)不是常数2∴该随机过程不是平稳随机过程。2（7）设有随机过程X(t)XYtZt,t，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1。22解：∵mx(t)EX(t)E[XYtZt]EXtEYtEZ0（常数）2R(t,t)E[X(t)X(t)]E[(XYtZt)(XY(t)Z(t))]X2222E[X(t)XZ(t)

7、XYXYtt(t)Yt(t)YZ22tXZ(t)YZt(t)Z]22222EXt(t)EYt(t)EZ1t(t)t(t)自相关函数Rx(t,t)Rx()∴该随机过程不是平稳随机过程。2（8）设有随机过程X(t)X（随机变量），则EXa,DX。解：∵m(t)EX(t)EXa（常数）x2222Rx(t,t)EX(t)X(t)EXDX(EX)aRx()∴该随机过程是平稳随机过程。2．设随机过程X(t)sinUt，其中U是在[0，2π]上均匀分布

8、的随机变量。试证（1）若tT，而T{1,2,}，而{X(t),t1,2,}是平稳过程；（2）若tT，而T[0,)，而{X(t),t