随机过程_汪荣鑫_第一章答案.docx

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1、第一章随机过程的基本概念1．设随机过程X(t)=Xcosw0t,-¥0时此时若cows0t同理有ìxü1x-x2F(x,t)=PíX£ý=cosw0te2dxcosw0tîþ2pò0¶F(x,t)1-x21f(x,t)==e2co2sw0t׶xcosw0t2p<0时ìxüìxüF(x,

2、t)=PíX³ý=1-Píx<ýîcosw0tþîcosw0tþ1x-x2=1-2pò0cosw0te2dx1-x21f(x,t)=-e2co2sw0t×cows0t2p综上当：cosw0t¹0即t¹1(k+1)p时w0211-x2f(x,t)=e2cos2w0t

3、cosw0t

4、2p2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为1ìcospt,出现正面X(t)=íî2t,出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。试确定X(t)的一维分布函数F(x,2)和F(x,1)，以及二维分布函数F(x1,x2;12,1)解：（1）先求F(x,1)2ìpæ1öïcos,出现正面ì0

5、出现正面2显然Xç÷=í=í出现反面è2øï2-1,出现反面î12îæ1ö随机变量Xç÷的可能取值只有0，1两种可能，于是è2øìæ1öü1ìæ1öü1PíXç÷=0ý=PíXç÷=1ý=2222îèøþîèøþ所以ì0x<0æ1öï1Fçx,÷=í0£x<12è2øïx³1î1再求F（x,1）ìcosp出现正面ì-1出现正面显然X(1)=í=íî2出现反面î2出现反面p{X(1)=-1}=p{X(1)=2}=12所以ì0x<-1ï1F(x,1)=ï-1£x<2í2ïx³2ï1î1(2)计算F(x1,x2;2,1)10出现正面-1出现正面ììX()=í,X(1)=í2î1出现反

6、面î2出现反面于是2æ1öìæ1öüFxçx1,x2;,1÷=píXç÷£x1;X(1)£x2ý2èøîè2øþì0x1<0-¥1,-1£x2<2ïïx1>1,x2³2î13．设随机过程{X(t),-¥

7、st)X33333=1(1+sint+cost)3相关函数R(t,t)=F[X(t)X(t)]=1×1+sint×sint×1+1costcost3X1212312312=1[1+cos(t-t)]3124．设随机过程X(t)=e-Xt(t>0)其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。解：对于任意t>0因为FX(x,t)=P(x(t)£x)∴当x>0时FX(x,t)=P{e-Xt£x}=P{-Xt£lnx}=PìíXîìlnxü-lnx=1-píX<-ý=1-ò-¥tf(x)dxîtþ(x,t)=¶(x,t)=æ-lnxö×1∴fXFXfç÷¶xxt

8、ètø³-lnxüýtþ3当x£0时FX(x,t)=p{e-Xt£x}=01ælnxö∴随机过程X(t)的一维分布密度为fX(x,t)=fç-÷xtètø5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望EX(t)和自相关函数Rx(t1,t2)解：∵随机变量X的概率密度函数为ì1fX(x)=ïxÎ(0,T)íTï0其它î因此：EX(t)=Te-xtf(x)dx=Te-xt×1dx=1Te-xtdx=1(-1)e-xtTXò0ò0TTò0Tt0=1[1-e-tT]>0tTtRX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[e-Xt1e-Xt2

9、]=E[e-X(t1+t2)]=ò0Te-x(t1+t2)fX(x)dx=T(t11+t2)(1-e-T(t1+t2))6．设随机过程{X(t),-¥