随机过程_王荣鑫_答案1new

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1、第一章随机过程的基本概念1．设随机过程X(t)Xcost,t，其中是正常数，而X是标准正态00变量。试求X（t）的一维概率分布111解：∵当cos0t0即0t(k)即t(k)时220px(t)0111若cost0即t(k)时020F(x,t)PX(x)xPXcostx0当cost0时02xx1F(x,t)PXcos0te2dcost2002xFx,t12cos2t1此时f(x,t)e0x2cos0t若cost0时0x

2、xF(x,t)PX1Pxcostcost002x11cos0te2d202x12cos2t1同理有f(x,t)e02cos0t11综上当：cost0即t(k)时0202x112cos2tf(x,t)e02

3、cos0t

4、2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为1cost,出现正面X(t)2t,出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。试确定X(t)的一维分布函数F(x,)21和F(x,1)，以及二维分布函数F(x,x;,1)1221解：（1）先求F(x

5、,)2cos,出现正面120出现正面显然X221,出现反面1出现反面21随机变量X的可能取值只有0，1两种可能，于是21111PX0PX12222所以0x011Fx,0x1221x1再求F（x,1）cos出现正面1出现正面显然X(1)2出现反面2出现反面1pX(1)-1pX(1)22所以0x-11F(x,1)-1x221x21(2)计算F(x,x;,1)12210

6、出现正面1出现正面X(),X(1)21出现反面2出现反面于是211Fxx1,x2;,1pXx1;X(1)x2220x10x2或x0,x11210x11,2x22或x1,1x2121x1,x2123．设随机过程Xt,t共有三条样本曲线X(t,)1,X(t,)sint,X(t,)cost1231且p()p()p(),试求随机过程Xt数学期望EX(t)和相关函数1233Rx(t1,t2)。解：数学期望

7、11111m(t)EX(t)1sintcost(sintcost)X333331(1sintcost)3相关函数111R(t,t)F[X(t)X(t)]1sintsintcostcostX121212123331[1cos(tt)]123Xt4．设随机过程X(t)e(t0)其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。解：对于任意t>0因为F(x,t)P(x(t)x)X∴当x>0时XtlnxFX(x,t)PexPXtlnxPXtlnxlnx

8、1pX1tf()dtlnx1∴fX(x,t)FX(x,t)fxtxt3Xt当x0时F(x,t)pex0X1lnx∴随机过程X(t)的一维分布密度为fX(x,t)fxtt5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望EX(t)和自相关函数R(t,t)x12解：∵随机变量X的概率密度函数为1x(0,T)fX(x)T0其它因此：TTxtTxt11Txt11xtEX(t)ef(x)dxedxedx()e0X

9、00TTTt01tT1et0TtR(t,t)EX(t)X(t)EeXt1eXt2EeX(t1t2)X1212T1ex(t1t2)f(x)dx1eT(t1t2)X0T(tt)126．设随机过程X(t),t在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t有PX(t)1pPX(t)01p其中0

10、布：2PX(t)1,X(t)1p12pX