2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）

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2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）已知集合A={x|丄V2X02},B={x|ln（x-丄）W0},则AQ（［RB）=22（）A.0B.（-1,丄］C.［丄，1）D.（-1,1］222.（5分）已知i为虚数单位，7为复数z的共轨复数，若z+2^=9-i,则z=（）A.1+iB.1-iC・3+iD・3-i3.（5分）设正项等比数列{aj的前n项和为Sn,且电匕＜1,若a3+a5=20,a3a5=64,an则S4=（）A.63或126B.252C.120D.634.（5分）（2+x）（1■頁）°的展开式中x的系数是（）xA.1B.2C・3D・125.（5分）已知ZiABC屮，tanA（sinC-sinB）=cosB-cosC,则AABC为（）A.等腰三角形B.ZA=60°的三角形C.等腰三角形或ZA=60°的三角形D.等腰直角三角形6.（5分）已知等差数列{aj的公差dHO,且a”a3,巧3成等比数列，若ai=l,%是数列{冇}前n项的和，则竺学（neN+）的最小值为（）%+3A.4B.3C・2a/3-2D.2 21.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）333&(5分)已知函数f(x)二asinx+cosx(a为常数，xWR)的图彖关于直线炸匹6对称，则函数g(x)二sinx+acosx的图象()A.关于点(芈，0)对称B.关于点(可，0)对称33C.关于肓线X』对称D.关于盲线X二对称36ax-y+2^09.(5分)设a>0,若关于x,y的不等式组x+y-2>0,表示的可行域与圆(x.x-2<0-2)2+y2=9存在公共点，则z二x+2y的最大值的取值范围为()A.［8,10］B.(6,+8)C.(6,8］D.［8,+^)10.(5分)已知函数f(x)=2sin(cox+R)+1(u)>0,()w£),其图象与直线y二-1相邻两个交点的距离为兀，若f(x)>1对gw(-A,2L)恒成立,123则4)的取值范围是()a「兀兀ir「兀兀「兀兀in「兀兀1A，〔IT石］B•［丁忑］°［苛可］D.［―,百］(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f(x),当x<0U寸，f(x)满足2f(x)+xf(x)0 12.(5分)已知函数f(x)二23/c的图象上有且仅有四个不同的点关x+yx,x%e0于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，则实数k的取值范围是()A・(|,1)B.(1,|)C.(1,1)D.(1,2)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.(5分)已知sin(—h+0)+2sin(—r-0)=0,则tan(兰匹-+6)=・510514.(5分)已知锐角AABC的外接圆0的半径为1,ZB=—,则耳•瓦的取值6范围为.15.(5分)数列啣满足an+1=(2Isin^l-l)an+2n*则数列的前100项和为.16.(5分)函数y二f(x)图象上不同两点A(xi，yi),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA，kB,规定4)(A,B)叫曲线丫二f(x)在点a与点B之IABI间的"弯曲度〃，给出以下命题：(1)函数y=x3-x2+l图象上两点A、B的横坐标分别为1,2,则4)(A,B)>^3;(2)存在这样的函数，图象上任意两点之间的〃弯曲度〃为常数；(3)设点A、B是抛物线，y=x2+l±不同的两点，则e(A,B)W2；(4)设曲线y=ex±不同两点A(Xi，yj,B(x2,y2)，且Xi-x2=l,若t・(J)(A,B)VI恒成立，则实数t的取值范围是(-8,1)；以上正确命题的序号为(写出所有正确的)三、解答题(本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)17.(12分)如图，在AABC中，ZB=A,D为边BC上的点，E为AD上的点，3MAE=8,AC=4a/10，ZCED=—・4(1)求CE的长(2)若CD=5,求cosZDAB的值. 18.(12分)如图所示，A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，zaop=6(o0,且詔+拧+・・・+冇3二(a］+a2+・・・+an)(1)求数列｛aj的通项公式;(2)设数列｛」一｝的前n项和为Sn，不等式sn>^iog(1-a)式对任意anarrb23°的正整数n恒成立，求实数a的取值范围・・20.(12分)已知函数f(x)=lnx--^ax2,aeR.2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(X)W(a-1)x-1恒成立，求整数a的最小值.21.(12分)已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(其中aGR,e为自然对数的底数，e=2.718128...).(1)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围；(2)证明：当0<宫<丄时，f(x)有两个零点Xi，X2，且-3-|或x今,则AC(CrB)=(-1,1].故选：B.2.(5分)已知i为虚数单位，7为复数z的共辘复数，若z+2：=9-i,则z=()A.1+iB.1・iC・3+iD・3・i【解答】解：设z=a+bi(a,bUR),若z+2z二9-i,则a+bi+2(a-bi)=9-i,即为3a-bi=9-i,即3a=9,b=l,解得a二3,b=l,则z二3+i,故选：C. 3.（5分）设正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且邑V],若a3+a5=20,a3a5=64,an则S4=（）A.63或126B.252C.120D.63【解答】解:V^<1,•0,0故选：C4.（5分）（Z+x）（1-4的展开式中x的系数是（）XA.1B・2C・3D・12【解答】解：T（-^-+x）（l~Vx）4=（Z+x）（1-4Vx+6x-4xVx+x2）,xx・••展开式中x的系数为1X1+2X1=3.故答案为：C.5.（5分）已知AABC中，tanA（sinC・sinB）=cosB-cosC,则AABC为（）A.等腰三角形B.ZA=60°的三角形C.等腰三角形或ZA=60°的三角形 A.等腰直角三角形【解答】解：tanA(sinC-sinB)=cosB-cosC,整理得：^^-(sinC-sinB)二ccisB-cost?cosA贝I」：sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC,sinAsinC+cosAcosC二sinAsinB+cosAcosB,即：cos(A-C)=cos(A-B),则：@A-C=A-B,解得：B=C・所以：AABC是等腰三角形.②A-C=B・A,解得：2A=B+C,由于：A+B+C二180°,则:A=60°,所以：AABC是ZA=60°的三角形.综上所述：AABC是等腰三角形或ZA=60°的三角形.故选：C6.(5分)已知等差数列｛aj的公差dHO,且a”a3,巧3成等比数列，若ai=l,%是数列｛冇｝前n项的和，则竺学(neN+)的最小值为()%+3A.4B.3C・2a/3-2D.22【解答】解:Va1=l,a】、巧、a】3成等比数列,・・・(l+2d)2=l+12d.得d二2或d=0(舍去),••an=2n-1,ASn=n(l+2n-l)=n2y2二2Sn+16_2/+16.an+32n+22S+16q令t=n+l,则一-——二t+2-226-2=4%+3t当且仅当t=3,即n=2时，・・・一的最小值为4・ %+3故选：A.7.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A.5B.丄§C•烫D.16233【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面ABC水平放置，故三棱锥的高为h=4,结合俯视图可知三棱锥的底而为俯视图中的左上三角形，.••S底=^X2X4二4,乙故选：B.&（5分）已知函数f（x）二asinx+cosx（a为常数，xWR）的图彖关于直线*=逻6对称，则函数g（x）二sinx+acosx的图象（）A.关于点（芈，0）对称B.关于点（可，0）对称33C.关于肓线X』对称D.关于盲线X二对称 36【解答】解：・・•函数f(x)=asinx+cosx(a为常数，x^R)的图象关于直线对称,・・・f(0)=f(什)，即1爭a+寺・扁誓,当x=2L时，g(x)二兰为最大值，故A错误，故g(x)的图象关于直线x』333对称，即C正确.当x二竺■时，g(x)二逅工0,故B错误.33当xJL时，g(x)=1,不是最值，故g(x)的图象不关于直线xJL对称，排除故选：C.ax-y+2^09.(5分)设a>0,若关于x,y的不等式组x+y-2>0,表示的可行域与圆(x.0-2)2+y2=9存在公共点，则z=x+2y的最大值的取值范围为()A.[8,10]B.(6,+8)C.(6,8]D・[8,+^)【解答】解：如图，作出不等式组大致表示的可行域.圆(x-2)Jy2二9是以(2,0)为圆心，以3为半径的圆,而直线ax-y+2=0恒过定点(0,2),当直线ax-y+2=0过(2,3)吋，a=—2数形结合可得a>1 由图可知，当目标函数过点(2,2a+2)时，z取得最大值为4a+6,Va/.z^&/.z=x+2y的最大值的取值范围为［8,+°°).故选：D.10.(5分)已知函数f(x)=2sin(cox+R)+1(u)>0,()线y二-1相邻两个交点的距离为n,若f(x)>1对/xU|w2L),其图象与直2_71"12第恒成立'则4)的取值范围是()A*［务即B.奇,今］C.［令,今【解答】解：函数f(x)=2sin(u)x+4))+1(u)>0,4)W冷■),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为n,故函数的周期为呈匚二it,.•.U)二2,f(x)=2sin(2x+4))+1.(0若f(x)>1对Vx^(-—,—)恒成立，即当xG(-—,2L)吋,sin(2x+4))123123>0恒成立,故有2kn<2®(-—)+(|)<2•—+(!)<2kn+n,求得2kn+—<2kn+—,k^Z,12363结合所给的选项，故选：D.11.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为fz(x),当xVO时，f(x)满足2f(x)+xf(x)0, 所以函数F(x)在xVO时是增函数，又F(0)=0所以当x<0,F(x)0,所以f(x)<0,ex由于f(x)是奇函数，所以x>0时f(x)>0,即f(x)=0只有一个根就是0.故选A.xlnx-2x,x>023“c的图象上有且仅有四个不同的点关x4-yx,x^O于直线y=・1的对称点在y=kx・1的图彖上，则实数k的取值范围是()色)C.4〉12.(5分)已知函数f(x)=023/c的图象上有且仅有四个不同的点关【解答】解：：•函数f(x)=x+yx,x^O于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上,而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1,...f(X)二023/c的图象与・kx-l的图象有且只有四个不同的交点,x+yx,x^O作函数f(x)=023/c的图象与y二-kx-1的图象如下，x+yx,x^O易知一直线y=-kx-1恒过点A(0,-1),设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C(x,xlnx-2x),y'二Inx-1,故Inx-i=xlnx-2x+lyX解得，x=l;故kAC=-1;设直线AB与y二x?+3x相切于点B(x,xJ^x),22y=2x+3,2 解得，X=-1；12故尹＜i；二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（5分）己知sin（丄Zti+B）+2sin（—n-0）=0,则tan（兰匹-+8）=2・5105【解答】解：Tsin（込+6）+2sin（旦兀-0）二sin（聖£+0）-2sin（匹-0）=）510510=sin（^2L+e）-2cos（^2L+e）=o,55•Isin（^2L+e）=2cos（^^+0）,・tan（^2L+e）=2,555故答案为：2.14-（5分）已知锐角EC的外接圆。的半径为1,ZB诗，则乔反的取值范围为（3,色+{^22【解答】解:如图, 设I耳I二c,|BC|二引•••△ABC的外接圆。的半径为1,ZB诗•:—-—二-—二2，贝〔Ja=2sinA,c=2sinC.sinAsinCC二斗，6b0V3;(2)存在这样的函数，图象上任意两点Z间的“弯曲度〃为常数；(3)设点A、B是抛物线，y二x?+l上不同的两点，则4)(A,B)W2；(4)设曲线y=ex_h不同两点A(xi，yQ,B(x2,y2)，且Xi-x2=l,若t呻(A,B)VI恒成立，则实数t的取值范围是(-8,1)；以上正确命题的序号为(2)(3)(写出所有正确的)X=2=S，【解答】解：对于(1),由y=x3-x2+l,得yz=3x2-2x,则k止二/yi二1,丫2二5,贝0|AB|(2-1)2+(5-1)2-V17,4)(A,B)」kA—k』8-1丽厂一刁尸一島<岛(1)错误;对于(2),常数函数y二1满足图彖上任意两点之间的〃弯曲度〃为常数，(2)正确;对于(3),设A(Xi，yi),B(X2，丫2)，y/=2x,则kA-kB=2xi-2x2,IABI-yj(x1-x2)2+(x12-x22)2=^l(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=Ix1-x2|aJ1+(x1+x2)2-•丄/a八吐止-kJ2lxl~x2I,2./八••4)(A,B)——^^^—=2，(3)IXj-x2|^l+(X1+x2)2Ix1-x2l^l+(x1+x2)21 正确；对于(4),由y=ex,得y,=ex,4)(A,B)le^-e^l匕&一/2|A/(X1-x2)2+(eX1-eXz)2Vl+(eX1-eX2)2t*(|)(A,B)VI恒成立，即t|exi_ex2|<71+(eX1-eX2)2®成立，t二1时该式成立，・•・(4)错误.故答案为:(2)(3).三、解答题(本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)17.(12分)如图，在ZSABC中，ZB=—,D为边BC上的点，E为AD±的点，3且AE=8,AC二4伍，ZCED=—.4(1)求CE的长(2)若CD=5,求cosZDAB的值.解：(1)TZAEC二兀，…(1分)在ZXAEC中，由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2AE*CEcosZAEC,...(2分)・・・160二64+CE2+8应CE，•:CE2+8V2CE-96=0y…(4分)・・・CE二4伍.…(5分) （2）在^DE中，由正弦定理得血曳DESEED'••-分）••5sinZCDE二4伍乂^~’•••sinZCDE寻•“（7分）•・•点D在边BC上,・・・ZCDE>ZB』52AZCDE只能为钝角，…（8分）••cosZCDE二（9分）57T・・cosZDAB二cos（ZCDE^-），…（10分）=cosZCDEco^y+sinZCDEsirry=xy+|-X^4^'3-•••（12分）18.（12分）如图所示，A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，ZAOP=e（0<6OQ=l+cosiJ.（3分）乂平行四边形OAQP的面积为 S=0AeOPsinEsin为所以OA*OQ+S=l+cosi?+sini?=V2sin(0+—)+1・(5分)4又0V&5所以当》二匹时，杰•瓦+S的最大值为V2+1.(7分)4(2)由题意，知忑二(2,1),0P=(cos®sin*),因为CB//OP,所以cos吐2sin伏又OV/Vii,cos2i?+sin2i?=l,解得sin*二乂邑cos55所以sin2i?=2sini?cosi?=—,cos2&二cos钿-sin2i?=—.55所以sin(28一匹)二sin2i?cos—-cos2i?sin—=—X^Zl.-j-X—=.(13666525210分)19.(12分)已知数列｛aj满足对任意的nGN*都有an>0,且ai3+a23+...+an3=(ai+a2+...+an)2.(1)求数列｛aj的通项公式；(2)设数列｛」一｝的前n项和为Sn，不等式亦>丄"g(l・a)式对任意anar^23a的正整数n恒成立，求实数a的取值范围..【解答】解：(1)Vai3+a23+...+an3=(ai+a2+...+an)2,①则ai3+a23+...+an3+a丄丿二(ai+a2+...+an+anti)2,②口n+1②-①，得^丄」二(31+32+・・・+冇+冇+1)2-(巧+巧+^+冇)San+lVan>0,•:a丄12二2(ai+a2+...+an)+巧+1，③n+1同样有a2二2(ai+a2+...+an-i)+an(n$2),④n ②-④，得a2-a2=an-i+an.口n+1口n•e-an1-an=l.又a2-ai=l,即当时都有ana-an=lr・・・数列｛aj是首项为1,公差为1的等差数列,⑵由⑴知小则十=誌晟中爲).・•・Sn=——+—+—+•・・++—-—ala3a2%a3a5吿T°n+1二丄［（1-丄）+（丄-丄）+（丄-丄）+.・・+（丄-丄）+（丄-丄）］232435n-1n+1nn+2丄（“丄一丄一丄）22n+1n+2丄丄（丄+丄）.22n+ln+2-S巴丄八>0,（n+l）（n+3）・・・数列｛%｝单调递增，・•・（Sn）要使不等式Sn>—loga(1-a)对任意正整数n恒成立，只要丄>2|oga(1-a).333VI-a>0,•a,即OVaV丄.219.(12分)已知函数f(x)=lnx-丄址2，aWR.2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)W(a-1)x-1恒成立，求整数a的最小值.【解答】解:(1)严(J二丄-空二上竺tXX函数f(x)的定义域为(0,+°°).当aWO时，f*(x)>0,则f(x)在区间(0,+8)内单调递增；当a>OI3寸，令f(x)=0,贝%半或(舍去负值)，当00,f(x)为增函数， 当x>4时，f(X)<0,f(x)为减函数.所以当aWO时，f(x)的单调递增区间为(0,+<-),无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,卜)，单调递减区间为(圧,+8)・(2)由｝nx-—ax2<^(a-l)x-b得2(lnx+x+1)Wa(2x+x2),2因为x>0,所以原命题等价于a>2(lnx+x+l)a区间(°,+8)内恒成立.x+2x令g(x)二如;+x+l),则于(X)j2(x+l)(21n;+x),x+2x(x2+2x)令h(x)=2lnx+x,则h(x)在区间(0,+°°)内单调递增,由h(1)=1>0,h(y)=-21n2+y<0^所以存在唯一勺€(丄，1)，使h(x0)=0,即2lnxo+xo=O,所以当O0,g(x)为增函数，当x>x0时，g'(x)<0,g(x)为减函数,2(lnx0+xQ+l)max所以x=x()时,g(x)x2+2xx0“0又(寺‘1)，则一(1,2),wxo因为aG乙所以a22,黑昇,所以#XOkxoi-zjx0x0故整数a的最小值为2.19.(12分)已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(其中aeR,e为自然对数的底数，e=2.718128...).(1)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围；(2)证明：当0・l时，f'(X)>0,于是f(x)为增函数，・••仅x二为f(x)的极值点，综上可得a的取值范围是[0,1]；(2)证明：由(1)当丄时，为f(x)的极小值点，2又f(-2)二一二(一1)n+l>0对于旦成立，f(_l)二丄<0对于00对于0由于X<-1,f(X)为减函数，于是只需证明f(X1)>f(-2-X2),也就是证明f(・2・x2)<0,f(-2-七)二&(-2-x2)巳‘一(8-1)(-x2-1)?二0(-2-七)巳2-(a~l)(x2+I)借助(#)代换可X2],f、f、"2"X2x2_z、-2-x2f(-2-X2)-al_2-x2)e~ax2e二aL(一2一x?)e-x2e令g(x)=(-2-x)e-2*x-xex(-l