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《【人教A版】2018版必修二第4章《圆与方程》导学案（1）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、笫四脈恻与方程§4.1的方程4.1.1的标准方程［学习目标11.会用定义推导圆的标准方程；常握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.戸知识梳理自主学习知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其屮定点是圆的圆心；定长是圆的半径.2.圆的标准方程标准方程为什町％)-〃)2"标准方程为兰+严U思考方程(x—a)2+(y—b)2=//—定表示圆吗？答不一定.当加=0时表示点(a,b),当〃时，表示圆.知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、
2、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径厂比较：若CM=r,则点M在圆上;苟CM>r,则点M在圆外;若CM〃)在圆C上0(加一^严+⑺一b)2=/；点M(in,77)在圆C外o(m—17)2+(n—/?)2>z*2；点M(/w,”)在圆C内o(加一af+O?—思考确定点与圆的位置关系的关键是什么？答关键是点与圆心的距离与半径的大小比较.重点突破戸题型探究题型一求圆的标准方程例1已知圆过两点力(3,1
3、),5(-1,3)，且它的圆心在直线3x—y—2=0上，求此圆的标准方程.解方法一设所求圆的标准方程为(x-a^+(y~b^=i"(3-^)2+(1-研=丿，依题意，有“一1一。)2+(3—府=/,3a—b—2=0,a=2,解得橋=4,a2+Z)2—6°—2b=/—10,即＜a2+b2+2a~6b=i2-10,、3a_b—2=0.故所求圆的标准方程为(X—2)2+(y—4)2=10.方法二直线的斜率&=3—1-1-3所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.线段力〃的中点的横坐标和纵坐标分别为兀=于=1,宁=2,因此直线〃?的方程为y—2=2(x—1),
4、即2x—y=0.又因为圆心在直线3x—y—2=0上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程,2x—y=0,3x—y_2=0,x=29解得.b=4.设圆心为C,所以圆心坐标为(2,4).又因为半径r=
5、CA
6、=y[C),所以所求圆的标准方程为(x—2)2+©—4)2=10.方法三设圆心为C.因为圆心在直线3x-y-2=0上,所以可设圆心C的坐标为(q,3q—2).又因为
7、G4
8、=
9、C3
10、,所以寸(q—3尸+(3a—2—1)2=#(q+1)2+(3q—2—3尸,解得a=2.所以圆心为(2,4),半径长r=CA=yJW.故所求圆的标准方程为(X—2)2+
11、(y—4)2=10.反思与感悟求圆的标准方程的三种常用方法：方法一是待定系数法；方法二、方法三是由平面几何的性质直接求得圆心坐标和半径.其中待定系数法思路直接体现了方程的思想，是通用方法；方法二和方法三对像圆这样的有明确的几何性质的曲线解答较简捷，运算量也不大.在解题过程中，要仔细审题，充分利用圆的性质，如圆上一点到圆心的距离就是半径，圆的任一弦的垂直平分线均过圆心等.跟踪训练1△MC的三个顶点分别为力(0,5),B(l,-2),C(—3,-4),求其外接圆的标准方程.解方法一设圆的标准方程为(x—a)2+(y—b)2=r2.因为/(0,5),8(1,
12、-2),C(-3,—4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有(0-f/)2+(5-/))2=r2,V(1—«)2+(—2—/>)2=7*2,.(—3—a)2+(—4—")2=*.a=_3,解此方程组，得、/=25.故所求外接圆的标准方程是(x+3)2+(y?—1)2=25.方法二因为力(0,5),B(l,-2),-2-51-0所以线段力3的中点的坐标为=-7.所以线段力3的垂直平分线的方程是即x-7y+10=09同理，线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0.Jx—7y+10=0,由《[2x+y+5=0f得圆心的坐标为(一3,1).又因为
13、圆的半径长r=^/(-3-0)2+(l-5?=5,所以所求外接圆的标准方程是(x+3)2+(y-l)2=25.题型二点与圆的位置关系的判断例2已知点力(1,2)不在圆C：(x~a)2+^+a)2=2a2的内部，求实数Q的取值范围.解由题意，得点力在圆C上或圆C的外部，(1—<7)2+(2+tz)22a2,.•・2q+520,号,又aHO,・・・G的取值范围是一号，0)U(0,+oo).反思与感悟判断点P(Xo,为)与圆(x-a)2+^-b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种,对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点
14、的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(^()—a)2+()'()—/?)2
