2017数学（理）一轮对点训练：8-4垂直的判定与性质含解析

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1、題鬆对点题必刷题1•若空间中四条两两不同的直线厶,H，】3,h，满足厶丄4＜2丄厶，厶丄?4,则下列结论一定正确的是()A・Z1丄?4B・1}//14C・厶与/4既不垂直也不平行D./］与＜4的位置关系不确定答案D【详细分析】由人丄＜2,?2丄厶可知人与厶的位置不确定，若/1IIh，则结合厶丄仃，得厶丄＜4,所以排除选项B、C,若人丄厶，则结合厶丄仏知厶与＜4可能不垂直，所以排除选项A做选D.2・如下图，三棱锥P-ABC中，PC丄平面45C,PC=3,AACB=殳0,E分别为线段BC上的点，HCD=DE=dCE=2EB=2.(1)证明：DE丄平面PCD；(2)求二面角A

2、-PD-C的余弦值.解(1)证明：由FC丄平面ABC,DEU平面ABC.故PC丄DE.由CE=2,CD=DE=d得△CDE为等腰直角三角形，故CDIDE.由PCQCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE丄平面PCD・7T(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，ZDCE=&如下图，过。作DF垂直CE于F,易孔DF=FC=FE=1,又已知EB=X故FB=2.33故4C=^DF巧.―>以C为坐标原点，分别以C4,—>—>CB,CP的方向为x轴，y轴，z(3轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),戶(0,0,3),力片，0,0£(0,2,0),7)(1

3、,1,0),ED=(,—>-1，0)，DP=1,-1,3),DA=设平面B4Z)的法向量为％=(兀1，yi，zi),由n1DP=0,n^DA=0,_旳-yl+3zi=0,得f1c故可取/2]=(2,1,1).，兀1-尹1=0，—>由⑴可知DE丄平面PCD,故平面PCD的法向量血可取为£Q,即血=(1,-1,0),从而法向量死1，血的夹角的余弦值为COS<711，、nxn2羽"2〉=丽=6，、疗故所求二面角A-PD-C的余弦值为*-.3・如图，在四棱锥A-EFCB中，为等边三角形，平面/EF丄平面EFCB,EF//BC,BC=4,EF=2a,ZEBC=ZFCB=60。,

4、O为EF的中点.(1)求证：力0丄BE；(2)求二面角F-AE-B的余弦值；(3)若BE丄平面/OC,求°的值.解(1)证明：因为是等边三角形，O为EF的中点，所以人0丄EF.又因为平面/EF丄平面EFCB,/OU平面4EF,所以/O丄平面EFCB.所以MO丄BE.(2)取BC中点G,连接OG由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGLEF.由(1)知力0丄平面EFCB,又OGU平面EFCB,所以CM丄0G.如右图建立空间直角坐标系0-卩z,—>则£(^0,0),力(0,0,伍)，陀萌(2-q),0),EA=(_a,0,^3BE=(a_2,羽(q-2),0).设平面的法向量为

5、n=(x,”z),—>ivEA=0,则]—>jiBE=0，-ax+y]3az=0,I(a-2)x+y{3(a-2)y=0.令z=l，则x=书，y=一1.于是兀=(萌，-1,1).平面AEF的法向量为p=(0,1，0)・所以cos—>⑶因为BE丄平面AOC.所以BE丄OC,即BE・OC=0・—>—>因为BE=(a_2,羽(a—2)，0),OC=(_2,叔2-心0),—>—>所以BEOC=一2(°—2)—3(q-2)证明：CQ丄平面A{OC；若平面A、BE丄平面BCDE,求平面AXBC与平面A{CD夹角的余

6、弦值.解⑴证明：在图1中，TT因为AB=BC=1,AD=2,E是4D的中点，ZBAD=^所以BE—C.即在图2中，BE丄0仏BE1OC,从而BE丄平面A}OC,.ff4由BE・OC=0及0

7、以0为原点，建立空间直角坐标系,D因为AXB=AXE=BC=ED=1,得眈=（-¥，孝ol皿=（0,、乙乙）（-也，辛00,0）・设平面A}BC的法向量谢=（兀1，刃，Z1）,平面/1CQ的法向量兀2=（x2,玲Z2）,平面AXBC与平面4仞夹角为0,nr5C=0,则

8、—>jiAC=0,n2CD=0,V―>^n2AC=0,

9、%2=0,<-z2=0,取小。'小从而COS0=cos"“2小晟ir尊即平面AXBC与平面/CD夹角的余弦值为3・5.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角