【教学设计】《等比数列的前n项和》（人教）

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1、《等比数列的前n项和》◆教学目标1、知识与技能（1）掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的问题；（3）理解等比数列的前n项和性质应用。2、过程与方法由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式，提高分析、解决问题能力。3、情感态度与价值观从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力，在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。◆教学重难点◆【教学重点】等比数列的前n项和公式推导；学会用公式解决一些实际问题。【教学难

2、点】灵活使用公式解决问题。◆教学过程（一）新课导入传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？

3、你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：（二）新课讲授探究一：等比数列的前n项和设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得。Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1。①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn。②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn。说明：这种求和方法称为错位相减法当q≠1时，Sn＝。当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1。结合通项公式可得：等比数列前n项和公式：Sn＝一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1)一定不要

4、忽略q＝1的情况；(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn。知道其中任意三个，可求其余两个。（三）例题探究例1　求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0。解：(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝。(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8。又由q<0，可得q＝－。所以S8＝＝。注：求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立。跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝4

5、0，则公比q＝________；前n项和Sn＝________。答案：2　2n＋1－2解析：设等比数列的公比为q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2。因此Sn＝＝2n＋1－2。探究二：等比数列前n项和公式与函数的关系当公比q≠1时，我们已经知道等比数列的前n项和公式Sn＝，它可以变形为Sn＝－qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A，即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的

6、正比例函数。例2　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？解析：当Sn＝2n－1时，an＝＝n∈N*是等比数列；当Sn＝2n＋1－1时，an＝＝n∈N*，不是等比数列。例3　若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？解析：设{an}的公比为q，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nq

7、n＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn。梳理：等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列。(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)。(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)。