【步步高 通用（理）】2014届高三二轮专题突破 专题五 第3讲

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1、第3讲　圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】　1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线

2、与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长

3、公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

4、P1P2

5、＝

6、x2－x1

7、或

8、P1P2

9、＝

10、y2－y1

11、，其中求

12、x2－x1

13、与

14、y2－y1

15、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

16、x2－x1

17、＝，

18、y2－y1

19、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐

20、标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．

21、步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一　求轨迹方程例1　(2013·辽宁)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)

22、＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，①y0＝－＝－.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B(x2，)，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③y＝.④切线MA、MB的方程分别为y＝(x－x1)＋.⑤y＝(x－x2)＋.⑥由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状

23、能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且

24、

25、，

26、

27、，

28、

29、成等差