【步步高 通用（理）】2014届高三二轮专题突破 专题七 第4讲

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1、第4讲　转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段

2、，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学

3、问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决

4、的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集

5、U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．3．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.类型一　特殊与一般的转化例1　(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于(　　)A．2aB.C．4aD.(2)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，则f＋f＋…＋f的值为________．答案　(1)C　(2

6、)解析　(1)由x2＝y(a>0)知抛物线开口向上，故过焦点F作一在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物线于P、Q，则

7、PF

8、＝

9、FQ

10、＝，即＋＝4a.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，∵f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝1，∴f＋f＋…＋f＝＋＋…＋＋f＝1×49＋＝.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列

11、，则＝________.(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f＝________.答案　(1)　(2)0解析　(1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝，cosC＝0，代入所求式子，得＝＝.(2)因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，所以＝，使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)，其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g

12、(x)特殊化，可设g(x)＝sin2πx，则f(x)＝xsin2πx，经验证f(x)＝xsin2πx满足题意，则f＝0.类型二　相等与不等的转化例2　若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t的方程有正解进行解决．答案　(－∞，－8]解析　设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a得a＋4＝－，∵t>0，∴－≤－4，∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8]．等与