【步步高 通用（理）】2014届高三二轮专题突破 专题七 第3讲

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1、第3讲　分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给

2、出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)

3、由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1　(1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4

4、，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．答案　(1)　(2)－解析　(1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若00时，1－a<1,1＋a>1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(

5、1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.不合题意，舍去．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a的值为－.应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知数列{an

6、}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　)A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对答案　D解析　∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1，且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列．当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．类型二　由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论例2　已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．解　

7、①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，它在[0,1]上是减函数，所以ymax＝f(0)＝.②当4－3m≠0，即m≠时，y是二次函数．当4－3m>0，即m<时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f(0)＝m，f(1)＝2－2m，当m≥2－2m，又m<，即≤m<时，ymax＝m.当m<2－2m，又m<，即m<时，ymax＝2(1－m)．当4－3m<0，即m>时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝<

8、0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m.由①、②可知，这个函数的最大值为ymax＝求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线