知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

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1、数列的全章复习与巩固编稿:李霞审稿:张林娟【学习目标】1.系统掌握数列的有关概念和公式;2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式,并运用这些知识解决问题;3.了解数列的通项公式与前项和公式的关系,能通过前项和公式求出数列的通项公式;4.掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】数列的通项通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】要点一:数列的通项公式数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系,如果可以用一个公式来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释:

2、①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1,2,3,―1,4,―2,就写不出通项公式;②有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的。如:数列―1,1,―1,1,…的通项公式可以写成,也可以写成;③仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的。通项与前n项和的关系:任意数列的前n项和;要点诠释:由前n项和求数列通项时,要分三步进行:(1)求,(2)求出当n≥2时的,(3)如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式。数列的递推式:如果已知数列的第一项或前若干项,且任一项与它的前一项或前若干项间的关

3、系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,简称递推式。要点诠释:利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值,可用凑配法、换元法等.要点二:等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法:(常数)是等差数列;②中项公式法:是等差数列;③通项公式法:(p,q为常数)是等差数列;④前n项和公式法:(A,B为常数)是等差数列。要点诠释:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性。等差数列的有关性质:(1)通项公式的推广:(2)若,则;特别,若,则(3)等差数列中,若.(4)公差为d的等差数列中,连续k项和,…组成新的等差数列。(5)等差数列,前

4、n项和为①当n为奇数时,;;;②当n为偶数时,;;。(6)等差数列,前n项和为,则(m、n∈N*,且m≠n)。(7)等差数列中,若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*,且m≠n,p≠q),则。(8)等差数列中,公差d,依次每k项和:,,成等差数列,新公差.等差数列前n项和的最值问题:等差数列中①若a1>0,d<0,有最大值,可由不等式组来确定n;②若a1<0,d>0,有最小值,可由不等式组来确定n,也可由前n项和公式来确定n.要点诠释:等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三:等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法:(q是不为0的常数,n∈N*)

5、是等比数列;(2)通项公式法:(c、q均是不为0的常数n∈N*)是等比数列;(3)中项公式法:(,)是等比数列.等比数列的主要性质:(1)通项公式的推广:(2)若,则.特别,若,则(3)等比数列中,若成等差数列,则成等比数列.(4)公比为q的等比数列中,连续k项和,…组成新的等比数列。(5)等比数列,前n项和为,当n为偶数时,。(6)等比数列中,公比为q,依次每k项和:,,…成公比为qk的等比数列。(7)若为正项等比数列,则(a>0且a≠1)为等差数列;反之,若为等差数列,则(a>0且a≠1)为等比数列。(8)等比数列前n项积为,则等比数列的通项公式与函数:①方程观点:知二求一

6、;②函数观点:时,是关于n的指数型函数;时,是常数函数;要点诠释:当时,若,等比数列是递增数列;若,等比数列是递减数列;当时,若,等比数列是递减数列;若,等比数列是递增数列;当时,等比数列是摆动数列;当时,等比数列是非零常数列。要点四:常见的数列求和方法公式法:如果一个数列是等差数列或者等比数列,直接用其前n项和公式求和。分组求和法:将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式,然后分别对等差数列和等比数列求和.如:an=2n+3n.裂项相消求和法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若,

7、分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则,如an=错位相减求和法:通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式:,其中是公差d≠0等差数列,是公比q≠1等比数列,如an=(2n-1)2n.一般步骤:,则所以有要点诠释:求和中观察数列的类型,选择合适的变形手段,注意错位相减中变形的要点.要点五:数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型

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