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1、数列的全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林姐【学习目标】1・系统掌握数列的有关概念和公式；2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前斤项和公式，并运用这些知识解决问题;3・了解数列的通项公式為与前/?项和公式S”的关系，能通过前〃项和公式S”求出数列的通项公式an；4.掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列｛色｝的第n项％与项数nZ间的函数关系，如果可以用一个公式％=/S)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释：%1不是每个数列都能写出它的通
2、项公式。如数列1,2,3,-1,4,-2,就写不出通项公式；%1有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的。如：数列一1,1,一1,1,…的通项公式可以写成色=(-1)"，也可以写成d”=cos〃;r；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。通项与前n项和Stl的关系:任意数歹lj{an}的前n项和S“=q+冬+…+。“；£(n=1)s厂(n>2)要点诠释：由前n项和S”求数列通项时，要分三步进行：(1)求a】=S],(2)求出当"2时的a“，(3)如果令n>2时得岀的色屮的n=l时有舛=$成
3、立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项色与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法%1定义法：an+}-an=d(常数)<=>{an}是等差数列;%1屮项公式法：2%+]=色+%2S丘小)o{%}是等差数列；%1通项公式法：an=pn+q(p,q为常数)O{
4、%}是等差数列；%1前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A,B为常数)O仇}是等差数列。要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。等差数列的有关性质：(1)通项公式的推广：an=am+(n—in)d(2)若m+n=p+q(m、/?、p、qeTV*),贝ijam+an=a/}+a(/:特别，若m+n=2p,则atn+an=2a/f（4）公差为d的等差数列屮，连续k项和Sk,S2k-Sk,Sik-S2k,...组成新的等差数列。（5）等差数列｛an｝9前n项和为①当n为奇数时，Sn=n-a^；S奇一S
5、偶空；=VV'偶+an上J1S吞②-当n为偶数时，Sn=/?•(—=—)；Sfg—$奇=—dn；——22S偶%2%2V-Vv（6）等差数列｛色｝,前n项和为S〃，则~=亠匚伽、nCN*,且n#n）。m-nm+nS—SS—S(7)等差数列{an}+,若m+n=p+q(m^n、p、qWN*,且m#n,pHq),则=m-np-q（8）等差数列｛%｝屮，公差d,依次每k项和：Sr,S2，-S*,S3火-成等差数列,新公差cV=k2d.等差数列前n项和S”的最值问题:等差数列｛陽｝中若ai>0,d<0,S”有最大值，可由不等式组a，）
6、~Q来确定n；%+i§0若ai<0,d>0,S”有最小值，可由不等式组来确定n,也可由前n项和公式久」>0.dn~+(d
7、)n来确定n.（3）中项公式法:疋+产看毎曲（％•%-a^20,〃wN*）o｛a〃｝是等比数列.S丄“2要点诠释：等差数列的求和屮的函数思想是解决最值问题的基木方法.要点三:等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：旦=$（q是不为0的常数，neN*）o｛d〃｝是等比数列;（2）通项公式法：g=cq“（c、q均是不为0的常数neN*）U>｛%｝是等比数列;等比数列的主要性质:（1）通项公式的推
8、广：=ainq,l~m（2）若m+n=p+q（jn、/?、p、qeTV*）,贝ijam-an=ap-a（/.特别,若fn+n=2p,则am•an=a；（3）等比数列｛%｝屮，若加、灯、p（m、fi、pwN*）成等差数列，则a加、a”、成等比数列.（4）公比为q的等比数列屮，连续k项和Sk,S2k-Sk.S3k-S2k,...组成新的等比数列。（5）等比数列｛%｝,前n项和为S”，当n为偶数时，S低=S^。（6）等比数列｛%｝中，公比为q,依次每k项和：S“S2k-Sk,S3k-S2k...成公比为qk的等比数列。（7）若｛%
9、｝为正项等比数列，贝lj｛logaan｝（a>0且時1）为等差数列;反之,若｛%｝为等差数列，则｛『，｝（a>0且畔1）为等比数列。”（"一1）（8）等比数列｛%｝前n项积为V,则匕=a角（neN*）等比数列的通项公式与函数：〃一1an=W%1方程观点：知二求一；%1函数观点：a“=坷严=
