知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

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1、数列的全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；3．了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；4．掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】数列的通项通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释：

2、①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。通项与前n项和的关系：任意数列的前n项和；要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n≥2时的，（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关

3、系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：（常数）是等差数列；②中项公式法：是等差数列；③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；特别，若，则（3）等差数列中，若.（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，…组成新的等差数列。（5）等差数列，前

4、n项和为①当n为奇数时，；；；②当n为偶数时，；；。（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.等差数列前n项和的最值问题：等差数列中①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）

5、是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则.特别，若，则（3）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列.（4）公比为q的等比数列中，连续k项和，…组成新的等比数列。（5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，。（6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列。（7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列。（8）等比数列前n项积为，则等比数列的通项公式与函数：①方程观点：知二求一

6、；②函数观点：时，是关于n的指数型函数；时，是常数函数；要点诠释：当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列。要点四：常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若，

7、分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则，如an=错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：,其中是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.一般步骤：，则所以有要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型