专题8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角与距离（讲）-2016年高考数学（理）一轮复习讲练测（原卷版）

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1、第08节立体几何中的向量方法(Ⅱ)—求空间角与距离【课前小测摸底细】题例：1.【人教A版选修2-1P97习题14改编】若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________．2.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.3.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考、理、19）如图，在三棱锥中，平面，为的中点，分别为线段上的动点，且。⑴求证：面；⑵若是的中点，是线段靠近的一个三等分点，求二

2、面角的余弦值。13汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！4.【基础经典题】正四棱锥S—ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．5.【改编自2013年广东理】如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.平面.求二面角的平面角的余弦值..COBDEACDOBE图1图2【考点深度剖析】空间的角是高考必考考点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几

3、何的能力．距离问题较少单独考查，一般在有关面积、体积的计算中间接考查．【经典例题精析】考点1异面直线所成的角【题组全面展示】【1-1】【2012年陕西高考】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.【1-2】【2013·辽宁大连一模】长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC113汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.【课本回眸】1.

4、两条异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.【方法规律技巧】1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．2.利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其

5、补角才是异面直线所成的角．【新题变式探究】【变式一】【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.13汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！【变式二】【2014安庆二模】如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且。（Ⅰ）求证：。（Ⅱ）若异面直线和所成的角为，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。考点2直线与平面所成角【题组全面

6、展示】【2-1】【2015高考上海，理19改编】如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的正弦值大小.【2-2】【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．DD1C1A1EFABCB113汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【2-3】【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.

7、（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【课本回眸】1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝

8、cosθ

9、＝.【方法规律技巧】1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【新题变式探究】【变式一】（广东省广州六中等