高三数学一轮 8.8 立体几何中的向量方法（ⅱ） 求空间角、距离

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1、§8.8　立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离2014高考会这样考　1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)．复习备考要这样做　1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化．1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝

2、cos〈m1，m2〉

3、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝

4、cos〈m，n〉

5、.(3)求平面间夹角的大小如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点

6、，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．2.点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.[难点正本　疑点清源]1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、

7、利用数量积的夹角公式计算．2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．1．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为_______．答案　解析　∵n·a＝－8－3＋3＝－8，

8、n

9、＝＝3，

10、a

11、＝＝，∴cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记

12、为θ，即sinθ＝

13、cos〈n，a〉

14、＝.2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于________．答案　30°解析　由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.3．从空间一点P向二面角α—l—β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．答案　60°或120°4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．答案　a解析

15、　由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．∴F，E.∴EF＝＝＝a.5．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．答案　解析　以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，∴cos〈，〉＝＝.题型一　求异面直线所成的角例1　如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方

16、形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．(1)证明　以D为原点，、、分别为z轴、y轴、x轴的正向，

17、

18、为1个单位长度建立空间直角坐标系．由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，∴＝(0,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(－1,0,0)，∴·＝0，·＝0⇒⊥，⊥，又∵EE1∩FE1＝E1.∴

19、FG1⊥平面FEE1.(2)解　由题意知点A的坐标为(2,0,0)，又由(1)可知＝(1，－2，－1)，＝(0，－2,0)，∴cos〈，〉＝＝，∴sin〈，〉＝＝.探究提高　用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝

20、cosα

21、.如图所示，在长方体ABCD—A1