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《立体几何专题_高考_高中教育_教育专区》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题：立体几何1.（哈三中三模）如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．2.（银川一中三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点。（Ⅰ）求证：平面平面PBC；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。PABCDE3.（光明中学三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点．（Ⅰ）证明平面EDB；（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．FABCDEM4.（临汾
2、三模）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°,四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ90°），试求cosθ的取值范围．5.（大庆一中三模）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的
3、余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值，参考答案1.解：（Ⅰ）取中点为，连接，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以．…2分由已知，，又，所以，因为，所以平面．又平面，所以平面平面．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴的方向，为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知，，，，．则，，．设平面的法向量为m，则m，m，即，，可取m．…6分设直线与平面所成角为，故．…………………………7分（Ⅲ）由题设知，可取平面的法向量n1，………………………
4、…8分平面的法向量n2，…………………………9分故n1，n2，…………………………11分所以二面角的余弦值为．…………………………12分PABCD·Exyz(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），，，，设直线PA与平面EAC所成角为，则，3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点．（Ⅰ）证明平面EDB；（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．解：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,
5、∵O是AC中点，又E是PC中点∴OE∥AP………3分又OE面BDE，AP面BDE………5分∴AP∥面BDE………6分（Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD∴EF⊥面ABCD………8分∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角。令PD=CD=2a则CD=EF=a,BF=………10分在Rt⊿BEF中，故BE与面ABCD所成角的正切是。………12分4.（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos
6、60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.又因为BC⊂平面FBC，所以平面ACFE⊥平面FBC，.............5分(2)解：由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ(0≤λ≤),则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，∴=(－，1，0)，=(λ，-1，1)，设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量，由,得取x=
7、1,则n1=(1,,),∵n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴cosq===...........10分∵0≤λ≤,∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值.∴cosθ∈［］..............12分5.（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面
8、ACFE.又因为BC⊂平面FBC，所以平面ACFE⊥平面FBC，.............5分(2)解：由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ(0≤λ≤),则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，
