第1课时　平行四边形的性质定理1、2

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18.1　平行四边形的性质第1课时　平行四边形的性质定理1、21.在平行四边形ABCD中,∠B=60°,那么下列各式中,不能成立的是(　D　)(A)∠D=60°(B)∠A=120°(C)∠C+∠D=180°(D)∠C+∠A=180°2.如图所示,在▱ABCD中,∠B=115°,延长AD至点F,延长CD至点E,连结EF,则∠E+∠F等于(　D　)(A)115°(B)25°(C)50°(D)65°3.(2016河北)如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为(　C　)(A)66°(B)104°(C)114°(D)124°4.(2016丹东)如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为(　B　)(A)8(B)10(C)12(D)14 5.(2015宁波)如图,▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为(　C　)(A)BE=DF(B)BF=DE(C)AE=CF(D)∠1=∠2第4题图第5题图6.在▱ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF=　3cm　. 7.(2016江西)如图所示,在▱ABCD中,∠C=40°,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度数为　50°　. 第6题图第7题图8.(2016北京)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.证明:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,所以∠E=∠BAE.因为AE平分∠BAD,所以∠BAE=∠DAE,所以∠E=∠DAE,所以DA=DE.9.(2016邵阳)如图所示,点E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的点,BF=DE,求证:AE=CF.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC,所以∠EDA=∠FBC.在△AED和△CFB中,所以△AED≌△CFB(S.A.S.).所以AE=CF.10.如图,已知E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线). (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,所以∠BAE=∠DCF,因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB=∠CFD=90°,所以△AEB≌△CFD(A.A.S.).(2)解:△ABC≌△CDA,△BCE≌△DAF.11.如图,已知平行四边形ABCD,DE是∠ADC的平分线,交BC于点E.(1)求证:CD=CE;(2)若BE=CE,∠B=80°,求∠DAE的度数.(1)证明:如图,在平行四边形ABCD中,因为AD∥BC,所以∠1=∠3,又因为DE是∠ADC的平分线,所以∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以CD=CE.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD∥BC,又因为CD=CE,BE=CE, 所以AB=BE,所以∠BAE=∠BEA,因为∠B=80°,所以∠BEA=50°,因为AD∥BC,所以∠DAE=∠BEA=50°.12.(分类讨论)在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,求AB的长.解:①如图1,在▱ABCD中,因为BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,所以∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.因为AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,所以∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,所以∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,所以AB=BE,CF=CD.因为EF=2,所以BC=BE+CE=AB+CD-EF,即2AB-2=8,所以AB=5.②如图2,在▱ABCD中,因为BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,所以∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,因为AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,所以∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,所以∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF, 所以AB=BE,CF=CD,因为EF=2,所以BC=BE+CF+EF,即2AB+2=8,所以AB=3.综上所述,AB的长为3或5.13.(数形结合思想)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.(1)求∠APB的度数;(2)如果AD=5cm,AP=8cm,求△APB的周长.解:(1)由平行四边形的性质,得∠DAB+∠ABC=180°.又因为AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,所以∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°,所以∠APB=180°-90°=90°.(2)因为BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠CBP,又因为PC∥AB,所以∠ABP=∠CPB,所以∠CBP=∠CPB,所以CB=PC.因为AD=5cm,所以PC=BC=AD=5cm,同理PD=AD=5cm,所以AB=CD=PD+PC=10cm, 在Rt△APB中,PB===6(cm).所以△APB的周长为AP+PB+AB=8+6+10=24(cm).