混合型随机变量密度函数的求法

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1、混合型随机变量密度函数的求法浪花一点点求密度函数（或分布函数）、矩估计和极大似然估计、计算期望值和方差是考研数学常考的三大题型，而求密度函数（或分布函数）是考查概率论知识的精髓，可以说，几乎每年都考。求密度函数也有重点啊。那重点考什么呢？研究30多年的考研数学试题，求二维连续型随机变量的密度函数是重点（是综合题，不仅概率论知识，还涉及二重积分的计算）。在重点知识里，求混合型随机变量密度函数是近些年命题人的最爱。混合型是指两种随机变量的分布类型不一样，既有离散性也有连续型（或两种不同类型的连续型随机变量的分布）。尤以离散和连续型混合在一起，是重点的重点（会涉及全概率公式和条件概率知识）。

2、上例题来说明吧！一、离散和连续两种不同类型的随机变量混合在一起1(20033)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为12X~0.30.7而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).分析：首先说明20033是指此题是2003数学三考研试题，若为200313则指此题是2003数一和数三的考研试题。此题随机变量X是离散型的，Y是连续型的随机变量，题目考察两种混合型随机变量和的密度函数。求密度函数首选的方法是分布函数法！G(u)P(XYu)=0.3P(1+Y≤u)+0.7P(2+Y≤u)(因X、Y相互独立，X只取1和2两个值)=0.3P(Yu1)+

3、0.7P(Yu2)=0.3F(u1)+0.7F(u2)则U的概率密度为g(u)=G(u)(概率密度的定义)=0.3F(u1)+0.7F(u2)=0.3f(u1)0.7f(u2)即g(u)=0.3f(u1)0.7f(u2)点评：本题的关键点是0.3P(1+Y≤u)+0.7P(2+Y≤u)这一步，必须弄清楚其由来。12(200813)设随机变量X与Y相互独立，X的概率密度为P{X=i}=310y1(i=1,0,1)，Y的概率密度为fY(y)，记Z=X+Y0其他1(1)求P(ZX0);2(2)求Z的概率密度；分析：因第二问与本主题有关，只讨论第

4、二问。本题也是离散型和连续型随机变量混合在一起的，与2003年的试题相比(Y的概率密度为抽象的f(y))，连续型随机变量Y的概率密度是具体的，其实思路是一样的。记住，求密度函数首选分布函数法！F(z)P(XYz)z111=P(1Yz)+P(0Yz)+P(1Yz)333（因X、Y相互独立，X取三个值1,0,1）111=P(Yz1)+P(Yz)+P(Yz1)333到这儿，千万不能两边直接求导了！此处要就z的范围讨论。(此处是本题的关键点，因为Y的密度函数非零区域是0≤y≤1)(1)当z1时，此时z+1<0,z12111F(z)*0+*0+*0=0

5、z333(2)当1z0时，此时0≤z+1<1,2z111z1111F(z)dy+*0+*0=(z+1)z30333(3)当0z1时，此时1≤z+1<2,1z10111z11F(z)*dy+dy+*0=(z+1)z00333311111z1（严格来说，*dy应该写成*dy+*0dy，Y的密度函数非303031零区域是0≤y≤1，这是此步的关键点。）(4)当1z2时，此时2≤z+1<3,0z1111111z11F(z)*dy+*dy+*dy=(z+1)z0003333(5)当z≥2时，z+1≥3,z11111111F(

6、z)*dy+*dy+*dy=1z000333综上所述，z的密度函数为11z2fz(z)Fz(z)=30其他注：一般写区间范围，遵循“左闭右开”，即区间左边是闭的，如1z0这样的书写方式。对于连续型随机变量来说，变量等于某个值的概率为0，所以不必过多纠结与此。讨论的时候怎么知道要分5个不同区间呢？实际是就z1、z、z+1的值在0~1的范围间进行讨论。因为Y的密度函数非零区域是0≤y≤1。3(201713)设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为12y0y1P{X=0}=P{X=2}=，Y的概率密度为f(y)20其他(1)求P{Y≤EY};

7、(2)求Z=X+Y的概率密度.分析：因第二问与本主题有关，也只讨论第二问。与2008年的考研试题相比较，没有什么两样，9年之后命题人又出了几乎一样的题！所以，考题并没有过时，关键搞懂解题的方法才是最重要的。再说一遍，求密度函数首选分布函数法！F(z)P(XYz)z11=P(0Yz)+P(2Yz)（因X、Y相互独立）2211=P(Yz)+P(Yz-2)22此处要就z的范围讨论，(本题的关键点，因为Y的密度函数非零区域是0