随机变量函数概率密度的定点算法

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1、第１７卷第１期高等数学研究Ｖｏｌ．１７，Ｎｏ．１２０１４年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ．，２０１４ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０１．０２２随机变量函数概率密度的定点算法孙锦波，宁荣健（合肥工业大学数学学院，安徽合肥２３０００９）摘要利用曲线积分和曲面积分作为工具，导出计算随机变量函数的密度函数的一种定点算法，并借助实例说明相应计算公式的应用．关键词多维连续型随机变量函数；密度函数；定点算法；曲线积分；曲面积分中图分类号Ｏ２１１．３文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１４）０１－００７２－０

2、３ＯｎｔｈｅＰｏｉｎｔＶａｌｕｅｏｆＤｅｎｓｉｔｙＦｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＲａｎｄｏｍＶａｒｉａｂｌｅｓＳＵＮＪｉｎｂｏ，ＮＩＮＧＲｏｎｇｊｉａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０００９，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓａｂｏｕｔａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ，ｗｈｉｃｈｕｓｅｓｃｕｒｖｅｉｎｔｅｇｒａｌａｎｄｓｕｒｆａｃｅｉｎｔｅｇｒａｌ．Ｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄｔｏｉｌｌｕｓｔｒ

3、ａｔｅｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｐｏｉｎｔｅｖａｌｕａｔｉｏｎ，ｃｕｒｖｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｓｕｒｆａｃｅｉｎｔｅｇｒａｌ一般地，计算多维连续型随机变量函数的密度（ｕ，ｖ）ｇ′ｘｇ′ｙＪ＝＝＝－ｇ′ｙ≠０，函数采用分布函数法，此方法需要先求出随机变量（ｘ，ｙ）１０函数的整体分布函数，然后通过求导得到随机变量所以上述二元变换存在逆变换函数的密度函数．但是在求随机变量函数在某定点烄Ｙ＝ｈ（Ｕ，Ｖ），处的密度函数值时，此方法不可取．因此，本文给出烅Ｘ＝Ｖ，烆一种能直接计

4、算出在定点处密度函数值的方法．并且定理１设（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，其（ｘ，ｙ）０１１１，密度函数为ｆ（ｘ，ｙ）．Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ），且ｇ′ｘ，ｇ′ｙ存在，（ｕ，ｖ）＝＝－ｈ′ｕ＝Ｊ＝－ｇ′ｈ′ｕｈ′ｖｙｇ′ｙ≠０，从中解得Ｙ＝ｈ（Ｕ，Ｘ），则Ｕ的密度函数为进而得｜ｈ′ｕ｜ｆＵ（ｕ）＝ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ，ｆＵＶ（ｕ，ｖ）＝ｆ（ｕ，ｈ（ｕ，ｖ））｜ｈ′ｕ｜，∫Ｌｕ１＋（ｈ′２槡ｘ）［１］则关于Ｕ的边缘密度为其中曲线Ｌｕ的方程为ｇ（ｘ，ｙ）＝ｕ．＋∞证明作二元变换ｆＵ（ｕ）＝ｆ（ｕ，ｈ（ｕ，ｖ））｜ｈ′ｕ｜ｄｖ．∫－∞烄Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ），又因为烅Ｖ＝Ｘ，烆｜ｈ′ｕ｜ｆ（

5、ｘ，ｙ）ｄｓ＝其Ｊａｃｏｂｉ行列式为∫Ｌｕ１＋（ｈ′２槡ｘ）＋∞收稿日期：２０１１－０７－０６；修改日期：２０１３－０５－０９ｆ（ｕ，ｈ（ｕ，ｖ））｜ｈ′ｕ｜ｄｖ，∫－∞基金项目：安徽省重点教改项目（２００８ｊｙｘｍ０５４，２０１０００７０）所以Ｕ的密度函数为作者简介：孙锦波（１９８９－），男，安徽蚌埠人，硕士研究生，研究方向为应用数学．Ｅｍａｉｌ：８１５２６６６５３＠ｑｑ．ｃｏｍ｜ｈ′ｕ｜ｄｓ．ｆＵ（ｕ）＝ｆ（ｘ，ｙ）∫Ｌｕ１＋（ｈ′２宁荣健（１９６２－），男，安徽青阳人，副教授，从事计算数学槡ｘ）研究．Ｅｍａｉｌ：ｎｒｊｉａｎ＠１２６．ｃｏｍ在定理１中，由于第１７卷第

6、１期孙锦波，宁荣健：随机变量函数概率密度的定点算法７３１ｇ′ｘｙ１ｈ′ｕ＝，ｈ′ｘ＝，Ｌｚ：＝ｚ（＜ｚ＜２），ｇ′ｙｇ′ｙｘ２因此有如下等价结论．则有定理２设（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，其槡２＋１ｘｆＺ（ｚ）＝ｄｓ＝密度函数为ｆ（ｘ，ｙ）．Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ），ｇ′，ｇ′存在且不∫Ｌｚ槡２ｘ槡１＋ｚ２ｘｙ全为零，则Ｕ的密度函数为槡２＋１１槡２－１２ｄｓ＝ｚ．１槡２槡１＋ｚ∫２Ｌｚ２ｆＵ（ｕ）＝ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ，∫Ｌｕ（ｇ′）２＋（ｇ′２槡ｘｙ）从而有其中曲线Ｌｕ的方程为ｇ（ｘ，ｙ）＝ｕ．１烄槡２ｚ－２，１＜ｚ＜２，定理３设（Ｘ，Ｙ，Ｚ）为三维连续型随机变量，ｆＺ（ｚ）＝烅

7、２２其密度函数为ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ，Ｚ），其中ｇ′ｘ，烆０，其他．ｇ′ｙ，ｇ′ｚ存在且不全为零，则Ｕ的密度函数为例２设三维随机变量（Ｘ，Ｙ，Ｚ）的概率密度ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ，烄１，０≤ｘ，ｙ，ｚ≤１，ｆＵ（ｕ）＝２２２ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝烅Ｓｕ槡（ｇ′）＋（ｇ′ｙ）＋（ｇ′ｚ）ｘ烆０，其他．其中曲面Ｓｕ的方程为ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｕ．试求Ｕ＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ的密度函数ｆＵ（ｕ）．定理４设（Ｘ，Ｙ，Ｚ）为三维连续型随机变量，解当ｕ＜０或ｕ＞３时，显然有其密度函数为ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．若ｆＵ（ｕ）＝０．Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ，Ｚ），