李永乐线性代数知识结构图

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1、i+ji+j1.代数余子式和余子式的关系：M=−(1)AA=−(1)Mijijijijnn(−1)副对角行列式：副对角元素的乘积×−(1)2；AOACCAOAmni拉普拉斯展开式：==AB、==−(1)ABCBOBBOBC范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；2.A是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；⇔rA()=n（是满秩矩阵）⇔A的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组Ax=0有n非零解；⇔∀∈bR，Ax=b总有唯一解；⇔A与E等价；⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A的特征值全Tnn不为0；⇔AA是正定矩阵；⇔A的行（列）向量组是

2、R的一组基；⇔A是R中某两组基的过渡矩阵；⎛AO⎞−1⎛A−1O⎞⎛OA⎞−1⎛OB−1⎞2.②、⎜⎟=⎜⎟；（主对角分块）③、⎜⎟=⎜⎟；（副对角分块）−1−1⎝OB⎠⎝OB⎠⎝BO⎠⎝AO⎠⎛AC⎞−1⎛A−1−ACB−1−1⎞⎛AO⎞−1⎛A−1O⎞④、⎜⎟=⎜⎟；⑤、⎜⎟=⎜⎟；（拉普拉斯）−1−1−1−1⎝OB⎠⎝OB⎠⎝CB⎠⎝−BCAB⎠T3.①、0≤rA()≤min(,)mn；②、rA()=rA()；③、若A∼B，则rA()=rB()；④、若P、Q可逆，则mn×rA()=rPA()=rAQ()=rPAQ()；（可逆矩阵不影响

3、矩阵的秩）⑤、max((),())rArB≤rAB(,)≤rA()+rB()；（※）⑥、rAB(+)≤rA()+rB()；（※）⑦、rAB()≤min((),())rArB；（※）⑧、如果A是mn×矩阵，B是ns×矩阵，且AB=0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解（转置运算后的结论）；Ⅱ、rA()+rB()≤n⑨、若A、B均为n阶方阵，则rAB()≥rA()+rB()−n；⎧nrA()=n*⎪4.rA()=⎨1rA()=n−1；⎪⎩0rA()

4、b,a]121r2rr−1rb=a；b=a−ibb=a−ib−ib−⋯−ib;11221rr12r−1[,]bb[,]bb[,bb][b,b]111122r−1r−1