李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)

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1、线性代数冲刺笔记【例题1】B=,A2-2AB=E,r(AB-2BA+3A)=()(A)1(B)2(C)3(D)与a有关【解】∵A(A-2B)=E∴A可逆,且A-1=A-2BA(A-2B)=(A-2B)A(AA-1=A-1A)AB=BA那么,AB-2BA+3A=3A-AB=A(3E-B)又,A可逆,知r(AB-2BA+3A)=r(A(3E-B))=r(3E-B)a有

2、3E-B

3、=0,又3E-B有二阶子式不得零,从而r(3E-B)=2.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A-n阶,B-n阶,若AB=BA=E,则称矩阵A可逆,且B为A的逆矩

4、阵.由此有AA-1=A-1A.【例题2】Am×n,η1,η2,…,ηt是Ax=0的基础解系,α是Ax=b的一个解.(I)证明α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关.(II)证明Ax=b的任意一个解都可以由α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性表出.【分析】η1,η2,…,ηt是Ax=0的基础解系,那么η1,η2,…,ηt必定线性无关,从而证明α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关可以用定义法。【证】(I)(用定义,重组,同乘)设k0α+k1(α+η1)+k2(α+η2)+…+kT(α+ηt)=0(1)即(k0+k1+k2+…+kT)α

5、+k1η1+k2η2+…+kTηt=0(2)由Aα=b,Aηi=0(i=1,…,t),用A左乘(2),有(k0+k1+k2+…+kt)Aα+k1Aη1+k2Aη2+…+ktAηt=0即(k0+k1+k2+…+kt)b=0又b≠0,有k0+k1+k2+…+kT=0(3)带入(2)有k1η1+k2η2+…+ktηt=0,而η1,η2,…,ηt是Ax=0的基础解系,那么η1,η2,…,ηt必定线性无关,从而k1=k2=…=kt=0,带入(3)有k0=0.所以k0=k1=k2=…=kt=0α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关.(或用秩)∵η1,η2

6、,…,ηt线性无关,α是Ax=b的解α不能由η1,η2,…,ηt线性表出.x1η1+x2η2+…+xtηt=α无解r(η1,η2,…,ηt)≠r(η1,η2,…,ηt,α)∵r(η1,η2,…,ηt)=tr(η1,η2,…,ηT,α)=t+1r(α,α+η1,α+η2,…,α+ηt)=t+1α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关.(II)设β是Ax=b的任意一个解,则β-α是Ax=0的解.从而β-α=l1η1+l2η2+…+ltηt.β=α+l1η1+l2η2+…+ltηtβ=(1-l1-l2-…-lt)α+l1η1+l2η2+…+ltηt即

7、β可由α,α+η1,α+η2,…,α+ηt表出.-11-/11【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念:设有向量小组η1,η2,…,ηt满足:(1)Aηi=0(i=1,…,t),即ηi是Ax=0的解.(2)Ax=0的任意一个解都可以由η1,η2,…,ηt表出.(3)η1,η2,…,ηt线性无关.那么称η1,η2,…,ηt为Ax=0的基础解系.也就是说若η1,η2,…,ηt是Ax=0的基础解系,那么η1,η2,…,ηt必满足上述3条。【例题3】Am×n,r(A)=n,α1,α2,…,αs是n维列向量.证明:

8、α1,α2,…,αs线性无关的充分必要条件是Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.【证】必要性(用定义)设k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0,即A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0.由Am×n,r(A)=nAx=0只有零解.故k1α1+k2α2+…+ksαs=0,又α1,α2,…,αs线性无关k0=k1=k2=…=ks=0.从而Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.充分性(用秩)因为Aα1,Aα2,…,Aαs=A(α1,α2,…,αs),所以r(Aα1,Aα2,…,Aαs)=r(A(α1,α2,…,αs))≤r(α1,α2,…,αs)由A

9、α1,Aα2,…,Aαs线性无关知r(Aα1,Aα2,…,Aαs)=s.而r(α1,α2,…,αs)≤s,从而r(α1,α2,…,αs)=sα1,α2,…,αs线性无关.【例题4】设A=[α1,α2,α3,α4],Ax=β的通解是[1,-2,1,-1]T+k[1,3,2,0]T,B=[α3,α2,α1,β+α4],γ=α1-3α2+5α3,(I)α1能否由α2,α3线性表出?(II)α4能否由α1,α2,α3线性表出?(III)Bx=γ求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出,所以要从解的

10、结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系,注意基础解系是线性无关的.【证】(I)Ax=β解的结构知r(A)=3.由A=0

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