李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)

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1、线性代数冲刺笔记【例题1】B＝，A2－2AB＝E，r(AB－2BA＋3A)＝（）（A）1（B）2（C）3（D）与a有关【解】∵A(A－2B)＝E∴A可逆，且A－1＝A－2BA(A－2B)＝(A－2B)A(AA－1＝A－1A)AB＝BA那么，AB－2BA＋3A＝3A－AB＝A(3E－B)又，A可逆，知r(AB－2BA＋3A)＝r(A(3E－B))＝r(3E－B)a有

2、3E－B

3、＝0，又3E－B有二阶子式不得零，从而r(3E－B)＝2.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A－n阶，B－n阶，若AB＝BA＝E，则称矩阵A可逆，且B为A的逆矩

4、阵.由此有AA－1＝A－1A.【例题2】Am×n，η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，α是Ax＝b的一个解.(I)证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.(II)证明Ax＝b的任意一个解都可以由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性表出.【分析】η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，从而证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关可以用定义法。【证】(I)（用定义，重组，同乘）设k0α＋k1(α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋kT(α＋ηt)＝0(1)即（k0＋k1＋k2＋…＋kT）α

5、＋k1η1＋k2η2＋…＋kTηt＝0(2)由Aα＝b，Aηi＝0（i＝1，…，t），用A左乘（2），有(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0即(k0＋k1＋k2＋…＋kt)b＝0又b≠0，有k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0(3)带入(2)有k1η1＋k2η2＋…＋ktηt＝0，而η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，从而k1＝k2＝…＝kt＝0，带入(3)有k0＝0.所以k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.（或用秩）∵η1，η2

6、，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)∵r(η1，η2，…，ηt)＝tr(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.(II)设β是Ax＝b的任意一个解，则β－α是Ax＝0的解.从而β－α＝l1η1＋l2η2＋…＋ltηt.β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηtβ＝(1－l1－l2－…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋ltηt即

7、β可由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt表出.-11-/11【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组η1，η2，…，ηt满足：(1)Aηi＝0（i=1，…，t），即ηi是Ax＝0的解.(2)Ax＝0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt表出.(3)η1，η2，…，ηt线性无关.那么称η1，η2，…，ηt为Ax＝0的基础解系.也就是说若η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必满足上述3条。【例题3】Am×n，r(A)＝n，α1，α2，…，αs是n维列向量.证明：

8、α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.【证】必要性（用定义）设k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0，即A(k1α1＋k2α2＋…＋ksαs)＝0.由Am×n，r(A)＝nAx＝0只有零解.故k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0，又α1，α2，…，αs线性无关k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0.从而Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.充分性（用秩）因为Aα1，Aα2，…，Aαs＝A(α1，α2，…，αs)，所以r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝r(A(α1，α2，…，αs))≤r(α1，α2，…，αs)由A

9、α1，Aα2，…，Aαs线性无关知r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝s.而r(α1，α2，…，αs)≤s，从而r(α1，α2，…，αs)＝sα1，α2，…，αs线性无关.【例题4】设A＝[α1，α2，α3，α4]，Ax＝β的通解是[1，－2，1，－1]T＋k[1，3，2，0]T，B＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，(I)α1能否由α2，α3线性表出？(II)α4能否由α1，α2，α3线性表出？(III)Bx＝γ求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的

10、结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的.【证】(I)Ax＝β解的结构知r(A)＝3.由A＝0