2013考研冲刺班线性代数辅导讲义-李永乐

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1、www.xueyes.com2013考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐线性代数考前练习1.已知α1,α2,α3,β1,β2均为4维列向量，矩阵A=（α1,α2,α3,β1），B=（α2,α1,α3,β2），若行列式

2、A

3、=1，

4、B

5、=2，则

6、A－2B

7、=.0001*00102.已知矩阵A的伴随矩阵A=，则矩阵A=.2000840010031113.已知A=010，B=，矩阵X满足AXA－ABA=XA－AB，则X3=.22223331003TTT4.已知矩阵A=2βα7E，其中α

8、1,11,2，β0,2,13，E是3阶单位矩阵，则矩阵A最小特征值的特征向量是.T225.二次型xAx=x3x2xx4xx2xx的正惯性指数p=.13121323第1页共4页2013考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐www.xueyes.com10010110n6.设A=，则齐次线性方程组Ax=0的通解是.011010011237.设A=且秩r(A)=2，A*是A的伴随矩阵，则齐次方程组A*x=0的通解是.0121a4a111x1121a3x48.已知方

9、程组2=，那么a=3，b=－1是此方程组有无穷多解的1a21xb3(A)充分但非必要条件(B)充分必要条件(C)必要但非充分条件(D)既不充分也不必要条件［］TT9.已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，秩r（A）=3，若α1+α2=(1,2,3,4)，α2+2α3=(2,3,4,5)，则方程组Ax=b的通解11211101201321012(A)+k(B)+k(C)+k(D)+k31340

10、112042511231［］10.n维向量α1,α2,α3,β1,β2，其中α1,α2,α3线性无关，β1可由α1,α2,α3线性表出，β2不能由α1,α2,α3线性表出.(1)α1,α2,α3,β1,β2必线性相关.(2)α1,α2,α3,β1,β2必线性无关.(3)α1,α2,α3,β1－β2必线性相关.(4)α1,α2,α3,β1－β2必线性无关.上述命题中，正确的是(A)(1)(3)(B)(2)(4)(C)(1)(4)(D)(2)(3)［］120211.已知AB,满足关系式A

11、2ABE，若B03a，则秩rAB2BA3A=005(A)1(B)2(C)3(D)与a有关不确定.［］第2页共4页www.xueyes.com2013考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐12.已知A是mn矩阵，秩rAn，α,α,,α是n维列向量.12s证明:α,α,,α线性无关的充分必要条件是Aα,Aα,,Aα线性无关.12s12s13.设A是m×n矩阵，η1,η2,…,ηt是齐次方程组Ax=0的基础解系，α是非齐次线性方程组Ax=b的一个解.(Ⅰ)证明：α,α+η1,α+η2,…,α+ηt线性无关.(Ⅱ)证明方程组Ax=b

12、的任一个解必可由α,α+η1,…,α+ηt线性表出.14.已知A是3阶矩阵，α是矩阵A属于特征值1的特征向量，α是齐次方程组Ax0的解，向量α满123足Aαααα.3123（Ⅰ）证明α，α，α线性无关.123（Ⅱ）求矩阵A所有的特征值和特征向量.（Ⅲ）判断A是否和对角矩阵相似，并说明理由.11115.已知矩阵A=1a1只有2个线性无关的特征向量.求矩阵A的特征值与特征向量.313第3页共4页2013考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐www.xueyes.com16.已知α=(1,k,－2)T是二次型xTAx=a222x+a

13、x+kx－2x1x3－2x2x3矩阵A的特征向量.试用正交变换化二次型123为标准形，并写出所用坐标变换.11017.已知A是秩为2的3阶实对称矩阵，满足ABBO，其中B021.111（Ⅰ）求齐次方程组Ax0的通解.T222（Ⅱ）若二次型x(AkEx)的规范形是yyy，求k的取值.12318.A和B均是n阶正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是ABBA.第4页共4页