资源描述：
《《线性代数》考研辅导讲义6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六部分二次型《线性代数》考研辅导讲义6第六部分二次型一.二次型的概念1.二次型其中.2.二次型的矩阵表示式令----二次型的矩阵,,则----二次型的矩阵表示式.----二次型的秩.二.二次型化成标准形1.二次型的标准形及规范形①----二次型的标准形,其矩阵为.②----二次型的规范形.其中为二次型的正惯性指数,为二次型的正惯性指数,为二次型的秩.(惯性定理).2.二次型化为标准形(1)配方法(2)正交变换法定理对实二次型,存在正交变换,将二次型化成标准形其中为的特征值.[注意]用正交变换化二次型为标准形的步骤:(1)求
2、的特征值;(2)对的特征值,求属于的两两正交且单位化的特征向量;(3)将的两两正交且单位化的特征向量作为正交矩阵的列向量组,得正交变换;并写出二次型的标准形.三.正定二次型,正定矩阵1.正定二次型与正定矩阵的定义第4页共4页第六部分二次型2.正定二次型与正定矩阵的判别定理实二次型正定(实对称矩阵正定)的正惯性指数等于的特征值全大于零的顺序主子式全大于零存在可逆矩阵,使得.典型例题例1设的个列向量线性无关,则必为().(A)正定矩阵(B)实对称但非正定矩阵(C)正交矩阵(D)反对称矩阵解选(A).例2已知二次型为正定二次型,则
3、应满足.解利用霍尔维茨定理.答案:.例3设为阶实对称矩阵,证明:为正定矩阵的充分必要条件是与单位矩阵合同.证必要性:为正定矩阵,必为实对称矩阵,存在正交矩阵,使得,又正定,故.令,则.令,则可逆,且,即与单位矩阵合同.充分性:,则为实对称矩阵.任给,且,所以为正定矩阵.例4设为阶非零矩阵,且,证明为正交矩阵.证只需证.令,则.因为为阶非零矩阵,则存在.又.例5设均为阶实正交矩阵,且,求.解由正交,则也是正交矩阵,同理也是正交矩阵.第4页共4页第六部分二次型所以.例6设为阶实对称矩阵,.求(1)二次型的标准形;(2).解(1)
4、设为的特征值,则.又为实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中为的特征值.由知,中有个1,个0,故,所以二次型的标准形.(2)由.又,则.例7设.(1)求一个正交变换,将化成标准形,并指明表示什么曲面?(2)求平面被曲面所截下的部分的面积.解(1)二次型的矩阵为,第4页共4页第六部分二次型其特征值.对应的线性无关的特征向量为,正交规范化得.对应的线性无关的特征向量为,单位化得.令正交变换,则表示圆柱面.(2)由(1)得,经正交变换,平面为,故平面被曲面所截下的部分的面积为.第4页共4页
