李永乐线性代数经典例题

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1、2003年度研究生入学考试系列参考资料考研数学线性代数经典范例25题主讲清华大学李永乐副教授地点东南大学健雄院致知堂时间2002年1月1日上午8001230整理YacYin01?110?1−11已知A求()2A________@@B@11?0n−1−1()−1解答()2An21()n−n解法一kAkAnn1−11−111原式AA222A11解法二原式n2A2A11?111?110?101−?0n−1A()n−1()n−1()−−11()n@@B@@@B@11?0

2、00?−1特殊解法nAλλ12?λn∏λii=1第1页2003年度研究生入学考试系列参考资料11?111?1A−E@@B@11?1nnn−1如rA()1时λEA−λλ−∑aiii=1*2已知A为四阶矩阵且()2A64求A________1解答A−4*n−1**n−1解法一()kAkAAA*3*4*43()2A2A8A8A64*34343解法二()2A2A()2A8A64*3已知ABAB表示AB两矩阵为相似矩阵下同且均为四阶矩阵B的特T征值为1124求AA________T解答AA32T

3、4T55解法原式AAAAABnAλλ12?λn∏λii=1*Bλλλλ11×−××()2481234*n−1BB3*BB810−51*4已知A−−841求A________−−74101−1解答A−−132−−450**解法AAAAAE第2页2003年度研究生入学考试系列参考资料**AAAAEAA*−1A*−1AA()AAA−1*A=AA()用初等行变换求逆行乘数交换行相加减现简述求解过程如下10−5110010−51100100011−−−84

4、1010⇒−841010−⇒−841010−−−741001100011−10−51100100011−100011−100011−⇒−041078−−⇒−010132−⇒−010132−0−−5111010001450−−001450−−25已知AB两个矩阵均为N阶矩阵且()AB+E其中A为对称矩阵且可逆求−1T−−11T()AB+−E()BAE________−1T−−11T解答()AB+−E()BAE()BA

5、+−()BA注意此题做到()BA+−()BA这一步即可不必再画蛇添足−1T−1TT解法原式()AB−−11+−AA(BATT−1)EAB−−11()+−A()AB()TE−1−1()BA+−AABE()2()AB+E−1()AB+()AB+原式()BA+−()BA总结矩阵的求逆与转置的异同表求逆转置−1T−1T()AA()AA相同−1−−11TTT()ABBA()ABBA第3页2003年度研究生入学考试系列参考资料−11−1TT()kAA()kAkA不同kTTT()AB+AB+

6、T−1−1T特别()A()A*6已知ABA均为n阶非零矩阵且AB0则rB()________解答rB()1解法一与齐次线性方程组挂钩B的列向量是Ax0的解A()ββ12,,??,βn()AAββ12,,??,Aβn()0,0,??,00解法二运用公式rA()+≤rBn()B0AB0A0AA1112?A1jAA?AA*0即21222j0∃≠A0,且n-1阶不为零ij@@B@AAii12?AijrA()n-1rA()+≤rBn()rB()≤1B为n阶非零矩阵rB()≥1rB()≡1

7、1237已知A为43阶矩阵且非零B456且AB0则Ax0的通解是________789解答kk()+()其中中为任意两个B的列向量12解法rA()+≤rB()3又rB()=2第4页2003年度研究生入学考试系列参考资料rA()≤1又A为非零矩阵rA()=1A的解为312个Ax0的通解是kk()+()其中中为任意两个B的列向量1221−1*3118A且ABAA−1=+21BE2求B________0122066−00−12931.5解答

8、B3−−1.51.52.256−−331.5−−11*311**−1A解法AA==88()A=22AA2−1*1AA=42−1*1−1−1−−11ABAA=+21BE2⇒=26ABAAB+E⇒=26BAB+A⇒=+26BBAE2−1⇒−=26BBAE⇒−BE()26AE=⇒