李永乐谈研究生入学线性代数考题

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1、李永乐谈研究生入学线性代数考题李永乐谈2004年研究生入学线性代数考题　　作者：李永乐　　今年线性代数共有20个考题，但数学一与数学二有4个题完全一样，另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n与4，而数学三与数学四有一个题完全一样，实际　　上有14个不同的考题，所涉及的知识点有：　　含参数的3阶、4阶及n阶行列式的计算，通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.　　矩阵方幂的计算(涉及相似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB=0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.　　含参数向量的线性表出、由矩阵秩

2、判断向量组线性相类.　　齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.　　求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.　　二次型的秩　　纵观04年考题，难度上比03年略有下降，要重视对基本概念、基本方法及原理的考核，注重知识点的衔接与转换，试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看，有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌，有的考生计算能力实在太差，基本计算错误屈层出不穷，也有些同学在概念、原理的理解上有偏差，逻辑推理不严谨，…….下面

3、通过对几个考题的分析，希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.　　例1(04，4)设，，其中P为3阶可逆矩阵，则=______________.　　[分析]本题考查n阶矩阵方幂的计算.　　因为　　利用分块矩阵的方幂　　易知　　从而　　那么，由有　　因此　　故　　例2(04，)设矩阵，矩阵B满足，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则

4、B

5、=_____________.　　[分析]由于，易具本题

6、A

7、=3，用A右乘矩阵方程的两端，有　　又因，故

8、B

9、=　　[评注]填空题难度不大，计算量也不会太大，主要考查考生对基本概

10、念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础，对基本运算要正确熟练.要提高运算能力，不能华而不实，浮燥.　　例3(04，)设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有　　(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关　　(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关　　(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关　　(D)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关[]　　[分析]设A是矩阵，B是矩阵，且AB=0，

11、那么　　由于A、B均非零矩阵，故.　　由秩的列秩，知A的列向量组线性相关.　　由秩的列秩，知B的行向量组线性相关.　　故应选(A)　　例4(04，)设n阶矩阵A与B等价，则必有　　(A)当

12、A

13、=a时，

14、A

15、=a　　(B)当

16、A

17、=a时，

18、B

19、=a　　(C)当

20、A

21、时，

22、B

23、=0　　(D)当

24、A

25、=0时，

26、B

27、=0　　[分析]所谓矩阵A与B等价，即A经初等变换得到B，而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.　　经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数.例如，若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B，那么A与B等

28、价，而

29、A

30、=a时，

31、B

32、=5a，可知(A)与(B)均不正确.　　若

33、A

34、，说明，而

35、B

36、=0说明与A、B等价有相同的秩不符.(C)不正确.　　当

37、A

38、=a，秩，故秩，那么

39、B

40、=0，即(D)正确.　　[评注]选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误.　　例3把AB=0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、转换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩衔接起来，只有平时重视对概念的复习，多从不同的角度不同的侧面进行思考，接口切入点多了

41、做题才能顺手.　　例5(04，3)设,，试讨论当a,b为何值时　　(I)不能由线性表示；　　(II)可由惟一地线性表示，并求出表示式；　　(III)可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.　　解设有效使得　　(≠)　　记A=().对矩阵(A、)施以初等行变换，有　　(I)当a=0,b为生意常数时，有　　可知，故方程组(≠)无解，β不能由线性表示.　　(II)当，且时，=3，故方程组(≠)有惟一解，　　则β可由惟一地线性表示，其表示式为　　(III)当时，对施以初等行变换，有可知=2，故方程组(≠)有无穷多解，其全部解

42、为，其中c为任意常数.　　β可由线性表示，但表示不惟一，其表示式为.　　例6(04，)设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.　　解A的特征多项式为.　　若是特征方程二重根，则有，解得.　　当时，A的特征值为2,2,6，矩阵的秩为1，故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.