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《用向量的模和数量积求角和距离》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、用向量的模和数量积求角和距离刘珊一、案例背景1、教学思路：本节课通过儿个例了及变式，使学生掌握化同思想，模式化解题方法，熟练掌握用向量法求角和距离。2、学情分析：本班是历史美术班，学生中有儿个人的基础较好，大部分学生基础较差，他们比较害怕立体几何的常规方法，主耍是定理不熟，逻辑性不强，也不会基木变形，综合思维能力不强。立体几何是学生的难点，但又是高考的更点，新教材淡化了逻辑推理，强化了技能和方法，所以用向量法就降低了立体几何的难度，是近来学生得分的保障题，也就是此题一定拿分,所以新方法显得尤其重要，学生易掌握。3、教学目标：通过本节课的学习，达到掌握川向量法求角和距离的口的；培养学生的
2、空间想象能力。教学重点：用向量法求角和距离教学难点：设点的他标、空间位置关系4、教材分析：高中数学教材中的向量知识为解决空间儿何问题捉供了有力的工具，不仅把儿何中的逻辑推理转化为向量的代数运算,使得空间问题的解决变得快捷、思路更清晰，体现在解题方法上更具冇普遍性。这里以空间角和距离问题为例，来说明向最知识在解决几何问题中的作用。解决空间角和距离问题只需三个步骤：一建立适当的空间直角处标系；二用空间直线（或平面）的向量参数表示式表示有关向量，根据互相垂直向量的数量积为零，列出关于所设参数的方程（组）并解出参数；三利用向量的模（或向量数量积）的公式求出角或距离.二、案例描述（一）、求两条异
3、面直线之间的距离和所成角.例1、已知长方体ABCD—AiBCDi中，AB=4,BC=AAf2,（1）求异面直线BDi和AC所成角（结果用反三角函数值表示）和BD、=(-2-4,2)(1)设DM与AC所成角为&,AC*D^=12
4、ac
5、=2^5DB}=2品.•:cos0=10号丄竺得］〔P0丄BDx2解方程组得＜4821•叼呜命影且4V2121因此异面直线MB与AC所成角为arccos穹（2）设点PeAC,点、QwBD、,且乔二久疋,应二正+“西贝1」函=Ag-AP=AB+/jBD,-AAC,•••PQ=(22-2“,4—42—4//,2//),(22-2“,4-4A-4“,2“)•(-
6、2,4,0)=0(22-2“,4-4A-4“,2〃)•(-2-4,2)=0・••异面直线DiB和AC的距离为也L.21（二）、求点与直线（或平面）的距离和直线与平面所成角例2、如图，在直三棱柱ABC—AJ3Q屮，底而是等腰直尤三和形，ZACB=90°,侧棱AAl2,D、E分别是CG与AJ3的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心G.（1）求点G到直线A.B距离；（2）求点A】到平面AED的距离。（3）求直线A.B与平面AED所成角的大小（结果用反三角函值表示）解：建立如图所示的空间直如坐标系C-xyz,设AC=2a则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)Ai(
7、2a,0,2),E(a,a,1),G(2a/3,2a/3,1/3).—*aci2■・・・G£=BD=(0,-2tz,l)————2?•••GE・BD=——a2+—=033—►—241•:解得a=l・・・A}B=(—2,2,—2),A】4=(0,0,-2),AD=(-2.0J),AE=(—1,1,1),A}E=(-1,1,—1).(1)令点G在A出上的射影为H,KGH=GB+tA.B94]GH"-2一亍,22亍―亍)由亦丽=。得(》討+冷弓•(-2,2,一2冋718~i~>~~二屁y9d_〒価町汨阿卜挣+(宀A}K•AD•~AE久=02//=—3——224,)A}K2V6~3即点G到直线
8、T为器⑵设点A】平面AED上的射影为K,且AiK=AlA+AAD+//A£/•A】K=(—22—角“，兄+“—2)(-2A-““A+//-2)*(-2,0,1)=0(-2^-/4丛2+“一2)•(—Ml)=02JZ所以点Ai到平血AED的距离为丄.3⑶由⑴知AK丄平面AED,・•・直线AJ3与平面AED所成的角就是ZAiEK.在RtAAKE中，订=41且~A^E=
9、(-1,1,-1)
10、=V3.sinZA}EK==-（或者sinZA.EK=耸］竺〔=£）,
11、呦3
12、科・
13、科3即直线AiB与平血AED所成角为arcsin2V2"T"(三)、求二面角例3、如图，直三棱柱ABC—AQG中,ZAC
14、B=90°,AC=1,CB=V2,侧棱AA产1,求二而处B-A^-C的人小.分析：求二面角可以分别过二面角两个面内已知点作二面角棱的垂线段，二面角的大小就等于分别以两个垂足为起点、两个已知点为对应终点的两条垂线段所表示的向量所成的角。解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系,A】(0,1,1),Bi(厲,1,0)B(V2,0,0)，则甌=(-血,1,1),丽=(0,-1,0),CB=(V2,0,0).设点Bi、C在二面角B-A.B-C的棱AiB上
