空间向量研究几何问题(理科)

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1、空间向量研究立体几何问题(理科)一、基本概念、向量运算1.空间直角坐标系0-兀以三要素：原点、三条互相垂直的坐标轴、坐标平面xoy、yoz.xoz2.坐标：取与兀、y、z轴同向的单位向量i,j,k,则0P=xz+yj+zk=(x,y,z)®OP=(x,y,z)；®AB=(x2-x^y2-yl,z2-zi)3.坐标运算设a=(xv»zj，b=(x2,yvz2),贝h®a+b=(xi+x2,y}+y2,z}+z2),®a-h=x}x2+必儿+z,z2.定义：a•方=

2、a脚cos&(&为aZ的夹角)性质：①Q〃b(h工6)

3、o西=Ax2,y}=Ay2,zt=Az2(AeR)②d丄bo%]X2+y}y2+z}z2=0③a=J兀]2+yj+Z]25-bJ^+yf+zj.JW+^+z；4.平面的法向量若向量方所在直线垂直于平面G,则称这个向量垂直于平面Q,记作7丄Q,如果：丄Q,那么向量〃叫做平面CC的法向量.说明：法向量的作用在于确定平面的方向；同一个平面有无数个法向量(方向可反，长度可变)K典型例题》例1・如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A.B.C^.试建立恰当的空间直角坐标系，并解决下列问题：(1)写岀图屮各点的坐标；(2)

4、写出向量万瓦，丽，而的坐标；(3)求证：DB}丄平面A}BC};(4)求平面人BC］的一个法向量、平面EFG的一个法向量、平面A、BCD丨的一个法向量.二、利用向量解决角度、距离问题1.求异面直线所成的角：cos&=cosa・bab（2b分别为两界面直线上取定的一个向量）(1)先求cos=—*mnmn（mn为两半平面的法向量）;2.直线与平血所成的角:pPnsin&=cos3.二面角:（2）考察二而角余弦值取值的正负情况，方法有二：①若二面角为锐二面角，则结果始终取正值；钝二面角，则

5、结果始终取负值；②法向量一内一外，与（1）同；若法向量同内或同外，则与（1）互为相反数.4•点到平面的距离:ABnABnABxABnK典型例题』例1.如图，在三棱锥V-ABC屮，UC丄底面ABC,AC丄BC,D是AB屮点，且AC=BC=VC.（1）求证：平面匕43丄平ffiVCD；（2）求CD与皿所成角的大小；（3）求BC与平面M4B所成角的大小；（4）求二面角A-VB-C的大小・练习1:如图，在直三棱柱ABC-A.B.C.中，AC=BC=CC}=2fAC丄BC,点D是AB中点.(1)求证：AC"/平面CDB「(2)

6、求证：CD丄平面AlABBl；(3)求直线色3和平面CD/所成角的大小；(4)求二面角B_B、C_D的大小；(5)求点B到平面CDB、的距离.练习2（07全国2）如图，在四棱锥S-ABCD^,底而ABCD为正方形,侧棱SD丄底面ABCD&F分别为45SC的中点.（1）证明EF〃平面SAD；（2）设SD=2DC,求二面角A-EF-D的大小.4B例2.(08全国2)如图，正四棱柱ABCD-A^QD,中，AA,=2AB=4,点E在CG上RC}E=3EC.(I)证明：AC丄平面BED；(II)求二面角A.-DE-B的大小.例

7、3.如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABg中，P是侧棱CC,±的一点，CP=m.(I)、试确定加，使直线AP与平面BDD、B所成角的正切值为3血;(II)、在线段AG上是否存在一个定点Q,使得对任意的加，9Q在平面AP9上的射影垂直于AP,并证明尼的结论。OAB练习:兀1.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ZABC=-,40A丄底面ABCDt0A=2,M为0A的中点，N为BC的中点(I)证明：直线MN〃平面OCD；(II)求异面直线AB与MD所成角的大小;(III)求点B到平面OCD的距

8、离。2.(2007福建)如图，正三棱柱ABC-A^C,的所有棱长都为2,D为CC

9、中点.(I)求证：AB,丄平面ABD；(II)求二面角A-^D-B的大小;(III)求点C到平面ABD的距离.