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1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。立体几何问题的类型利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。直线的方向向量和法向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(
2、x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：zxyAB1.直线的方向向量αn直线的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.利用空间向量决定点、直线和平面在空间中的位置1、如何确定一个点在空间的位置？OP2、如何确定一条直线在空间的位置？3、如何确定一个平面在空间的位置？O因为方向向量与法向量可以确定直线和平面向量，所以我们可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。知识点设直线的方向向量为分别为，平面
3、的法向量分别为习题讲解1、设分别是直线的方向向量，根据下列条件判断直线的位置关系。习题讲解2、设分别是平面的法向量，根据下列条件判断平面的位置关系。例题讲解定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。已知：直线和平面，其中，相交，，求证：1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量。习题讲解依题意得：解：设平面ABC的一个法向量，令，则所以，平面ABC的一个法向量为1第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解)
4、:把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.求平面的法向量的坐标的步骤2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy习题讲解解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).2、
5、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.习题讲解AAABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=
6、λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD证明：设a,b,c,依题意有
7、a
8、=
9、b
10、，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=
11、c
12、·
13、a
14、cosθ–
15、c
16、·
17、b
18、cosθ=0∴CC1⊥BD(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1
19、B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1∥平面DBC1(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为
20、n2n1n1n2n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβα例4正方体A
