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《考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2控制面板试卷满分:150分全部题型1.选择题2•填空题3.解答题选择题试题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。36量:1.（2004年）微分方程y"+y=X2+l+sinZ的特解形式可设为【】答题180时分限：钟剩余时间:调整字号：A.y=a£+b^+c+%(Asin%+Bcos%)-拿2B.y=x(a%+b/+c+Asinx+Bcos%).C.y"=a#+b%+c+Asin%.D.y=a£+b^+c+Acos%・正确答案：A解析：方程y"+y=0的特征方程为p2+l=0,其特征根为p=±i,因此方程
2、y"+y=/+l12141618y"=ax+b/+C+x(Asinx+Bcosx)故应透A・20调整背景：2.(2006年)函数y=C®+C2eW+肿满足的一个微分方程是[:】A.y〃—yz—2y=3汹.B.y〃-yz-2y=3cz.C.y〃+yz—2y=3xez.D.y〃+yr—2y=3ex.正确答案：D解析：由y=CQ+C2eF+疋知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2,所以只有C和D是正确的选项，将代入D项中方程知其满足该方程，则应选D・3.（2008年）在下列微分方程中，以y=C
3、M+C2Cos2）（+C3sin2*G，C2,C3为任意常数）为通解的
4、是【A.y+y〃-4/~4y=0.B.y+y〃+4yz+4y=0.C.y_y〃-4/+4y=0.D.y_y"+4yz—4y=0.正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为P1=bP2・3=±2i则其特征方程为(p-l)(p2+4)=o,故所求方程应为yi—y"+4y^-4y=0故应选D・4.(2010年)设yi，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=qCc)的两个特解，若常数九，卩使入yi+yy?是i解，入力一心2是该方程对应的齐次方程的解，则【】1_1=三'"=已正确答案：A解析：由于和+心2为方程yr+p(z)y=q(x)的解，则@y1
5、+py2)'+pCc)仏y1+卩、2)=g(x)即My'i+p(x)yi)+My‘2+p(x)y2)=q(x)>q(x)+p(z)=q(x)>+M=i⑴由于入出一财为方程yr+p(x)y=°的解，贝0(、y1_»y2)'+p()c)(入yi_hv2)=o>(yri+p(x)yi)-M(yr2+p(x)y2)=o>q(x)-Mq(z)=oZ—p=0(2)丄由⑴式和⑵式解得1=m=25.(2011年)微分方程y"—巧=臼+「乜＞0)的特解形式为【】A.ax(eXx+e_Xx).B.a肿+严).C.f(ac'+bc为.D.%2(aeXx+be_Xx).正确答案：C
6、解析：方程y"-X2y=O的特征方程为r2-Z2=ll*l=L「2=—X方程y〃-X2y=eZz的特解形式为说臼方程y"-X2y=e-Iz的特解形式为b/L*则原方程的特解形式为y=2C（a/0+b）（eW）故应选C・填空题》（1—W）3.（2006年）微分方程/=x的通解是•由y=凶二£2知X虹=（丄一】）吐正确答案：y=Ccc^.解析：yx则InIyI=lnIxI—X=ln丨XI+lne_z=ln（IxIe~z）y=Cxe_z.4.（2007年）二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4/+3y=2e2z的通解为丫=正确答案：y=CQ+C20—2e2沃.解析：
7、齐次方程特征方程为p2-4p+3=0解得Pi=b卩2=3,则齐次方程通解为y=C[0+C2e荻设非齐方程特解为，二人臼，代入原方程得A=-2,贝IJ原方程通解为y=CQ+C20—5.（2008年）微分方程（y+x2e"z）dZ-xdy=0的通解是y=正确答案：y=X（C—cr）.解析：方程（y4-x2e_z）dx—/dy=0可改写为y=ef亨［J"”’°丁愕+C=j：［
8、e_,dx+C］=工（一e'+C）=jt（C—e~x）6.（2010年）3阶常系数线性齐次微分方程y—2y"+/-2y=0的通解为丫=正确答案：yhCE+Czco毗+Ci§inx.解析：方程
9、y〃'=2y〃+y~2y=0的特征方程为r3-2r2+r-2=0即r2（r-2）+（r-2）=0(r-2)(r2+l)=0n=2,r2.3=±r则原方程通解为y=C
10、e°z+C2C0钦+Cisinz・3.(2011年)微分方程y%y=e"xcosx满足条件y(0)=0的解为y=正确答案：e^sinZ.解析：由一阶线性方程的通解公式得eT%e~xcosx•ef111dx+Cjy=J=e"z(Icosxdx+c]=e~z
11、sinx+C]由y(0)=0知，C=0,贝0y=e~zsinx4.（2012年）微分方程ydZ+（X-3y2）dy=0满足条件y丨口=1的解为
12、y=正确答案：辰解析：由ydx+（x-3y2）dy=
