第七讲不等式和线性规划

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1、第七讲.不等式和线性规划1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定乂：a-b>0a>b;a-b=0<^>a=b;a-b<0ab<=>bb,b>c^>a>c（传递性）（3）a>b=>a+c>b+c（加法单调性）（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）（5）a>b,cb,c>0aac>be（7）a

2、>b,c<0^>acb>0,c>d>0ac>bd（同向不等式相乘）（9）«>/?>0,0b,ab>0n1<1（倒数关系）ab（11）a>b>0^>an>b,l（ne乙且n>1）（平方法则）（12）a>b>0y[a>^/b（ne乙且n>1）（开方法则）3.几个重要不等式(1)若>0(2)若a、heR+Ma2+h2>2ah(^a2+b2>2ab>2ah)(当仅当0二b时取等号)（3）如果必都是正数，那么V^<—（当仅当Q二b时取等号）2.极值定理：若兀,y丘疋,x+

3、y=Sg=P,则：①如果P是定值'那么当x=y时，S的值最小；②如果S是定值，那么当x二y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.⑸若必>o,则纟+紐2（当仅当沪b时取等号）ab（6）a>01hf9x>a<=>x2>a2<^>x<-ax>a;xx2-a

4、

5、a

6、-

7、b

8、

9、S

10、a土b

11、S

12、d

13、+

14、b

15、4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是止数，那么2“倔‘+匚严^—+—ab（当仅当a二b时取等号）即：平方平均上算术平均上几何平均2调和2沁（寸

16、）乞寸常用不等式的放缩法：①D平均（a、b为正数）:特别地，“n旦）y/我(当a"时，(£j±)2=£i+£=^)2211111/「、Y—Y=(n>2)nn+(n+1)rTn(n-)n—②Jn+-fn=—j=―/Y—Y—r=~']=y/n->1)5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax'+bx+c>O(aHO)解的讨论.(

17、2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则瞑>0。曲>0；伴。。険(誓。g(x)g(x)[g⑴HO(3)无理不等式：转化为有理不等式求解<=>0g(go②加皿。腮丽或加③⑴vgd)o/⑴>0'g(x)»O/(兀)V[g⑴]2(2)・指数不等式：转化为代数不等式af(x)>aM(a>1)<=>f(x)>g(x);afM>ag(x｝(0f(x)b(a>0,b>0)<=>/(x)-lga>lgZ?(3)对数不等式：转化为代数不等式7(x)>0log“.f(x)>log“g(x)(a>1)o{£(

18、x)>0(4)含绝对值不等式/(x)>0log%)>10grtg(x)(0vav1)o«g(x)>0①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想;③应用化归思想等价转化1fMK&⑴。｛-(Ax)g)Og(x)g(x)注：常用不等式的解法举例(X为正数)：®x(1-x)-1.2x(1-x)(1-x)4(

19、)3=^②尸心内=宀竺叱g今(討=务孝类似^y=sinxcos2x=sinx(l-sin2x),③

20、兀+丄冃x

21、+

22、丄

23、(兀与丄同号,故取等)XXX7、二次函数的图

24、象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式A=&2-4acA>0A=0A<0一元二次方程ax2+/?x+c=0（tz>0）的根有两个相杲实数根—/?±Va有两个相等实数根b没有实数根X<或X>x2

25、2aax2+bx+c>0_元二次不（Q>°）等式的解集W+bx+cvO（d〉0）{x兀I0）的图彖8、二元一次不等式组：由儿个二元一次不等式组成的不等式组.9、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的兀和y的取值构成有序数对（x,y）,所有这样的有序数对（兀

26、,y）构成的集合.10、在平血直角绝标系屮，已知直线Ar+By+C=0,处标平血•内的点P（x0,y0）.①若B>0,Aro+Byo+C>O,则点P（x0,^0）在直线Aa+B），+C=0的上方.②若B>0,Ar0+By