系统的数学模型(2011第3讲)

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1、第3讲控制理论的发展历程自动控制系统定义控制系统的分类自动控制系统特点及对控制系统的基本要求机械工程控制论的研究对象与任务系统特性及其数学模型系统方框图及系统反馈复习上一讲内容石家庄铁道大学机械工程学院第一章练习题1.1、机械工程控制论的研究对象和任务是什么？1.8、对控制系统的基本要求是什么？1.9、将学习本课程作为一个动态系统来考虑，试分析这一动态系统的输入、输出及系统的固有特性各是什么？应采取什么措施来改善系统特性，提高学习质量？石家庄铁道大学机械工程学院第二章系统的数学模型Mathematicalmodelsofsystems研究与分析一个系统，不仅要定性地了解

2、系统的工作原理及其特性，而且要定量地描述系统的动态特性。为揭示系统的结构、参数与其动态特性之间的关系，有必要建立系统的数学模型，即将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来。建立数学模型(MathematicalModelling)定量分析或设计计算的前提。2.1系统的微分方程1、系统的数学模型及其形式DefinitionofMathematicalmodelofsystem⑴系统的数学模型系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式，是系统动态特性的数学描述。系统的数学模型可分为静态、动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。但对于线性

3、系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。以微分方程为基础的数学模型经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础；现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。经典控制理论最常用的数学模型是时域中的微分方程（differentialequations）、复域中的传递函数(TransferFunction)和频域中的频率特性(FrequencyResponse)。微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。一般来说，可以通过分析系统的运动状态来建立微分方程，再将其转化为系统的传递函数形式，以利于对系统进行深入研究、分析和综合。

4、静态数学模型反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。动态数学模型描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。⑵系统数学模型的形式同一系统的数学模型可以有多种形式：时间域：如微分方程/差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频

5、率域：频率特性这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。⑶数学模型的特点相似性数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。方程的符号抽象为变量，系数抽象为参数。结论具有一般性。简化性和准确性：常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。2、线性系统(linearsystem)和非线性系统(Nonlinearsystem)系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。⑴线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理（Principleofsuperposition）：当

6、多个输入信号同时作用于系统时，系统的输出等于各个输入信号单独作用时系统的输出之和。线性系统的优点是可运用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统又分为线性定常系统和线性时变系统：线性定常系统：系统微分方程的系数均为常数。其特点是系统响应曲线的形态只取决于具体的输入，与输入信号的时间起点无关。线性时变系统：系统微分方程的系数为时间的函数。⑵非线性系统：系统中存在一个或多个非线性元件，此时系统只能用非线性微分方程来描述。非线性系统不满足叠加原理。系统是否线性这一特征，不随系统模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构和参数确定。Thedifferen

7、tialequationsdescribingthedynamicperformanceofaphysicalsystemareobtainedbyutilizingthephysicallawsoftheprocess.Howtogetthedifferentialequationsofphysicalsystems?3、系统数学模型的建立基础及其方法⑴建立数学模型的基础①机械运动三要素质量M--m为质量时有：其中分别为力、速度和位移。弹簧K--k为弹性系数时有：为弹簧两端参考点。分别为力、速度和位移。其中阻尼B：B为阻尼系数时，有：为