系统的数学模型

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1、第二章系统的数学模型2-1模型总论2-2微分方程的建立2-3传递函数模型2-4框图模型2-5信号流图模型2-6模型总结第三讲：系统的数学模型（2-1、2-2单元，2学时）2-1模型总论2-2微分方程的建立2-1模型总论---概述1、实施恰当的控制，首先要对受控对象了如指掌，才能随心所欲。分析了解受控对象和控制系统的定量的工具和平台就是数学模型。对分析和设计自动控制系统而言，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是远远不够的。2、控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动

2、控制系统的基础。控制对象微分方程建模求解微分方程的解分析2-1模型总论---概述图2.1系统分析的基本流程3、许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。有了这个数学模型，我们可以不去过多地研究具体系统，而只分析其数学表达式，就可以知道其变量间的关系。比如，弹簧振荡系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。这在工程实践中好处多多？2-1模型总论---概述相似系统！4、模型的近似性与合理性实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常

3、可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂，这带来另一对矛盾，复杂与可操作性。数学模型实际系统近似寻求2-1模型总论---概述严格地说，实际物理系统都存在非线性，从模型的准确性的角度考虑，应该用非线性方程来描述系统。这又增加了模型的复杂性，因此，建模中的一个重要问题是模型的线性化。这门课只讨论线性定常（时不变）模型。2-1模型总论---概述5、模型建立方法a.分析计算法（机理建模法）根据支配系统运动的内在

4、规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型------这适用于简单的系统。例如，牛顿定律等2-1模型总论----概述b.工程实验法利用典型的输入激励，通过系统实际的输入--输出信号来建立数学模型。通常，在对系统内部一无所知（黑箱）的情况下，采用这种建模方法。实际上，我们对有些系统能有部分的了解。这时称为灰箱，可以综合运用分析计算法与工程实验法，较准确而方便地建立系统的数学模型。黑箱输入输出2-1模型总论----概述一、线性系统的定义同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统2-1

5、模型总论---线性系统若输入为x1(t)时,系统输出为y(x1)；输入为x2(t)时,系统输出为y(x2)，则系统输出满足：Y[x1(t)+x2(t)]=y(x1)+y(x2)叠加性：系统输入x1输出y(x1)输入x2输出y(x2)齐次性：系统输入x输出y(x)输入x输出y(x)若输入为x(t)时,系统输出为y(x)，则输入为βx(t)时，系统输出为：Y[βx(t)]=βy(x)重要特点：线性系统的叠加性和齐次性，为研究带来了极大的方便。这样，我们可以采用典型激励（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析

6、，而将复杂激励分解为典型激励的线性组合——这就简化了问题。例2.1：线性系统判别y=x2输入x输出y(x)2-1模型总论---线性系统例2.2：线性系统判别y=mx+b输入x输出y(x)2-1模型总论---线性系统例2.3：线性系统判别输入x输出y(x)2-1模型总论---线性系统例2.4：线性系统判别输入x输出y(x)2-1模型总论---线性系统二、非线性元件的线性化2-1模型总论---线性系统图2.2几种常见的非线性非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，将模型近似地转化为线性微分方程，可以简化系统的动态特性

7、分析。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题。线性化的方法有：1、忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱，或者工作在线性范围以内，则它们对系统的影响很小，可以忽略其非线性。）例如，电位器，弹簧2-1模型总论---线性系统2、微偏法（小偏差信号法，切线法，增量线性化法）微偏法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件主要工作在平衡点附近。

8、图2.3非线性系统的工作点设A(x0,y0)为平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数忽略二次以上的各项，上式可以写成其中:这就是非线性元件的线性化数学模型例2.5摆振荡模型（P35）amgLa0=0在30度的变化范围内，摆的线性模型误差小于2%扭矩：图2.4振荡摆(死区)电机3、平均斜率法如果某非线性元件输入输出关系如图所示。此