系统的数学模型.pdf

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1、第三章系统的数学模型3-1求题图3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。(a)(b)题图3-1(a)解：（1）输入f(t),输出y(t)"(2)对质量块m：f()tk−=ytm()yt()"(3)整理得：myt()−=kyt()ft()（b解：(1)输入f(t),输出y(t)(2)引入中间变量x(t)为kk,连接点向右的位移，（y>x）12"(3)kxkyx=−()①f−−=kyxm()y②122"kk12(4)由①、②消去中间变量得：my+y=fkk+123-2求题图3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械

2、系统的传递函数。图中，x表示输入位移，y表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。题图3-2（a）解：（1）输入x,输出x()x>xrcrc'''"（2）对质量块m：cxxcxmx()−−=12rccc"'"（3）整理得：mx++()ccx=mxcc12r2（4）两边进行拉氏变换得：msXs()(++ccsXs)()=csXs()cc121rXs()csc1（5）传递函数：Gs()==2X()smsccs++()r12（b）解：（1）输入x,输出xrc（2）引入中间变量x为k与c之间连接点的位移()x>>x

3、x1rc''''（3）kxxcxx()()−=−①cxx()−=kx②1rccc2ckk()12+''（4）消去中间变量x,整理得：x+=kxcxccr2k1ckk()+12（5）两边拉氏变换：sXs()+=kXs()csXs()ccr2k1Xs()csc（6）传递函数：Gs()==Xs()ckk()+r12sk+2k1（c）解：（1）输入x,输出xrc''（2）kxkxx=−+−()cxx()21crcrc（3）两边拉氏变换：kxs()=−+−kxs()kxs()csxs()csxs()211crcrcXs

4、()kc+sc1（4）传递函数：Gs()==X()skkc++sr123-3证明题图3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。χrK2с2с1χok1(a)(b)题图3-3解：（a）(1)输入u，输出urc1R+2u(s)Cs（2）系统的传递函数：G(s)=c=2u(s)11rR++R+12CsCs12(RCs+1)(RCs+1)2211=2RRCCs+RCs+RCs+RCs+11212112212（b）（1）输入x，输出xrc（2）引入中间变量x为k1与c1之间连接点的位移(xrc>>xx)''''''（3）

5、kxcx=−()x①cxxkxxcxx()()()−=−+−②11c122crcrc（4）两边拉氏变换：kxs()=−csxscsxs()()①11c1csxs()−=−+−csxs()kxs()kxs()csxs()csxs()②112222crcrc（5）消去中间变量x(s)整理得：kcsxs()11c++=+kxscsxskxscsxs2222ccrr()()()()kcs+11cscs21(1++)(1)kk21（6）传递函数：Gs()=2ccscscscs12211++++1kkkkk12212（a

6、）和（b）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。3-4在题图3-4所示的无源网络中，已知R=100kΩ，R=1,1MCΩ=0,1µFC=µF。1212试求网络的传递函数UsUs()/()，并说明该网络是否等效于RC网络串联？cr解对于题图3-4。利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为Us()1c=2UsRRCCsRCRCRCs()++++()1r12121122121=2ss++2.11uruc由于两个RC网络串联的传递函数为Us()11c==2Usr()(RCs11+1)(RCs22++1)s21s

7、+题图3-4故该网络与两个RC网络串联形成的网络不等效。3-5已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数C(s)/R(s)。X()sGsRsGsGsGsCs=−−()()()[()()()]11178X()sGsXsGsXs=−()[()()()]22163X()sXsG=−[()()()sCsG]()s3253CsGsXs()=()()43解：根据系统方程组可绘制系统结构图，如题图3-5所示。G(s)6−R(s)X2(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)X(s)X3(s)−1−G(

8、s)5G7(s)−G8(s)题图3-5系统结构图由XGXG2216=−()()X3XXG3253=−CG,GGX−GGC可得：X=2313531+GGG236代入XG=−−RGGGC()11178得GGGRGGGC23⎡⎤⎣⎦1−−−17()8GGC35X=31+GGG236又因为CGX=43GGGGRGGGC234⎡⎤⎣⎦1−−−17()8GGGC345故C=1+GGG236Cs()GGGG即=1