阶系统的数学模型

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1、其闭环传递函数为：式中，，称为时间常数，开环放大系数越大，时间常数越小。由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数是s的一次有理分式。一阶系统的微分方程为：-典型的一阶系统的结构图如图所示。3.2.1一阶系统的数学模型单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.5一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点开环传递函数为:闭环传递函数为:-典型结构的二阶系统如右图所示：

2、由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。典型二阶系统的微分方程：3.3.1典型二阶系统的数学模型称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。T称为二阶系统的时间常数。其特征根为：二阶系统的特征方程为：注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振

3、荡。⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根3.3.3典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）最大超调量2、调节时间：[例]有一

4、位置随动系统，其方块图如图所示。其中K=4，T=1。试求：(1)该系统的无阻尼振荡频率wn；(2)系统的阻尼系数z；(3)系统超调量d%和和调整时间ts；（4）如果要求z＝0.707，在不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开环放大系数K。解：系统的闭环传递函数为:（4）当要求在z＝0.707时，wn=1/2z=0.707，则K＝wn2=0.5。可见要满足二阶工程最佳参数的要求（该例中为增加阻尼系数），必须降低开环放大系数K的值。传递函数：当0

5、响应由三部分组成：稳态项，共轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点；极点附近无零点；其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上。[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。主导极点在y(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。3.4.3闭环主导极点3.5.2线性控制系统稳定性--充分必要条件线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负

6、实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。（一）胡尔维茨判据设系统的特征方程式为：则系统稳定的充要条件是：，且由特征方程系数构成的胡尔维茨行列式的主子行列式全部为正。胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数至最后一项系数，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。胡尔维茨行列式：3.5.3代数稳定性判据--胡尔维茨稳定性判据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：胡尔维茨行列式为：稳定的充要条件是：设线性系

7、统的特征方程为：线性系统稳定的充分必要条件是：1）方程式所有系数为正；2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项系数中有负或零（缺项），则系统是不稳定的。对于n≤4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式:n=2时:特征方程的各项系数严格为正.n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且△2>0n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且△2>0以及△2>an-12an-4/an-33.5.3代数稳定性判据--胡尔维茨稳定性判据的另一种形式李纳德-

8、戚帕特判据例2设线性系统的开环传递函数为：试判断系统稳定时K,T应满足的条件。根据李纳德-戚帕特判据，K>0,T>0且解：系统特征方程式为1+G(s)H(s)=0系统稳定时，要求：（二）、劳斯判据设线性系统的特征方程为劳斯阵列的前两行元素由特征方程的系数组成，第一行由特征方程的第一、三、五、…项系数组成，第二行由特征