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《高数习题答案总习题三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、总习题三1.填空：设常数40,函数f(x)=x--+k在(0,+oo)内零点的个数为.e解应填写2.提示:广⑴丄丄,fXx)=~.XeX1在(0,+oo)内，令广(x)=0,得唯一驻点4―因为厂(x)v0,所以曲线f(x)=}nx--^-k在(0,+oo)内是凸的，且驻点40—定是最大值e点，最大值为J(e)=k>0.又因为lim/(x)=-oo,lim/(x)=-oo,所以曲线经过兀轴两次，即零点的个数为2.XT+()X—>+«>2.选择以下题中给11!的四个结论中一个正确的结论：设在［0
2、,訂上/〃⑴>0,则广(o)/(i)，m)T(o)或/(OHU)几个数的大小顺序为().财⑴艸)欤1"0)；(Bf(1)欤1H/W'(o)；(QA1MOAT⑴才(0)；(Mi)>aom1解选择B.提示：因为厂⑴>0,所以广(兀)在［0,1］上单调增加，从而广⑴>fXx)>fO).又由拉格朗日中值定理，有人i)vo)=r©,矢io,H,所以广⑴>人1"0)才(0).3.列举一个函数人兀)满足:几丫)在［d,方］上连续，在(d,b)内除某一点外处处可导，但在(a,/?)内不存在点使代寸©d・解取A
3、x)=x,xe［-1,1］.易知您在［-1,1］上连续，且当x>0时/©)=】；当x>0时/⑴=-1;广(0)不存在，即的在［-1,1］上除x=0外处处可导.注意/i)-v(-1)=0,所以要使厂©(1-1))成立，即广©=o,是不可能的.因此在(-i,i)内不存在点歹，使yu)T(T)h©(i—(T))・4.设limfx)=k,求lim［/(x+6z)-/(x)J.XT8XT8解根据拉格朗日中值公式,/U+d)-/⑴才'(§)也,§介于x+a与x之间.当XT8时,8,于是lim［/(x+
4、6z)-/(x)J=limf^)-a=alimf'©=ak.XT8XT8§T85.证明多项式f(x)=x3-3x^a在［0,1］上不可能有两个零点.证明/©)=3/_3=3(/_1),因为当xe(O,1)时,厂(尢)<0,所以/(兀)在［0,1］上单调减少.因此,人兀)在［0,1］上至多有一个零点.6.设a。+也■+•••+$-=(),证明多项式/U)n7o+a
5、A+・・+dnX"在(0,1)内至少有一个零点.2/1+1证明设F(x)=a{}x+^-x2+,则F(兀)在［0,1］上连续，在(0
6、,1)内可导，且277+1F(0)=F(l)=0.由罗尔定理，在(0,1)内至少有一个点「使)=0.而Fx)=jix所以.心)在(0,1)内至少有一个零点.1.设沧)在［0,a］±连续，在(0,°)内可导，且几7)=0,证明存在一点徒(0,°),使夬T©=0・证明设F(兀)=欢兀)，则F(兀)在［0,°］上连续，在(0,a)内可导，且F(0)=F(d)=0.由罗尔定理，在(0卫)内至少有一个点使F(g)=O.而F(x)=f(x)+xr(x),所以巒)+学@)=0.&设0SG,函数夬尢)在［Q
7、,b］上连续，在(a,b)内可导，试利用柯西中值定理，证明存在一点矢(a,b)使f(a)-f(b)=^)ln~.证明对于/(兀)和lnx在［d,切上用柯西屮值定理，有b-a1,矢(a,b),即/(a)—/(b)=b'(§)ln—,*(a,b).a9.设/(兀)、g⑴都是可导函数，且I厂(兀)
8、喀(兀)，证明：当兀>。时,Kx)-J(a)9、/7x)
10、
11、右岩卜1,且有了(兀)>0,蛉)是单调增加的，当QG时,g(x)>g(d)・因为f(x)
12、>g(x)都是可导函数,所以/⑴、g(X)在［d,兀］上连续,在(d,兀)内可导，根据柯西中值定理，至少存在一点矢@,兀)，使g(x)—g(d)g®,If(x)-f(a)
13、()).XT8解(1)(Xy=(ex'nxy=ev1nv(Inx+1)=^(Inx+1).ir(x-xxYrl-xv(lnx+l)
14、rlim=lim=lim=lim•v->i1-x+lnxxti(1—x+ln兀)xti1xti_]—xx-xUlnx+1)-xx+l(x+l+丄)(lnx+l)—*=lim=2•XTl-1匕巴也=limA吨+切Tin•vtO(2)lim[—]=limxtoln(l+x)xxtox]n(l+x)x->o[xln(l+x)]1—l+xYln(l+x)+—1+x=lim=lim!=—xT()(l+x)ln(l+x)+xxT()ln(l+jv)+l+l2•2v(3)lim(—arctanx)=li
